Question

如圖（1），已知正方形ABCD在直線MN的上方，BC在直線MN上，E是線段BC上一點，以AE為邊在直線MN的上方作正方形AEFG

連結GD，求證△ADG≌△ABE；
如圖（2），將圖（1）中正方形ABCD改為矩形ABCD，AB=1,BC=2，E是線段BC上一動點（不含端點B,C ）,以AE為邊在直線MN的上方作矩形AEFG，使頂點G恰好落在射線CD上．判斷當E由B向C運動時，∠FCN的大小是否保持不變，若∠FCN的大小不變，求tan∠FCN的值；若∠FCN的大小發生改變，請舉例說明．

Answer 1

（1）證明略
（2）當點E由B向C運動時，∠FCN的大小總保持不變，tan∠FCN＝2

解：（1）∵四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形
∴AB=AD，AE=AG，∠BAD＝∠EAG＝90º
∴∠BAE＋∠EAD＝∠DAG＋∠EAD
∴∠BAE＝∠DAG
∴△ BAE≌△DAG       …………4分
（2）當點E由B向C運動時，∠FCN的大小總保持不變，…………1分
理由是：作FH⊥MN于H
由已知可得∠EAG＝∠BAD＝∠AEF＝90º
結合（1）（2）得∠FEH＝∠BAE＝∠DAG
又∵G在射線CD上
∠GDA＝∠EHF＝∠EBA＝90º
∴△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE
∴EH＝AD＝BC＝b，∴CH＝BE，
∴＝＝
∴在Rt△FEH中，tan∠FCN＝＝＝2 
∴當點E由B向C運動時，∠FCN的大小總保持不變，tan∠FCN＝2 …………5分