Question

【題目】如圖，∠AOB=45°，點M，N在邊OA上，OM=x，ON=x+4，點P是邊OB上的點.若使點P，M，N構成等腰三角形的點P恰好有三個，則x的值是________.

Answer 1

【答案】x=0或x=4-4 或4≤x<4

【解析】試題以MN為底邊時，可作MN的垂直平分線，與OB的必有一個交點P1，且MN=4，以M為圓心MN為半徑畫圓，以N為圓心MN為半徑畫圓，①如下圖，當M與點O重合時，即x=0時，除了P1，當MN=MP，即為P3；當NP=MN時，即為P2；

只有3個點P；

②當0＜x＜4時，如下圖，圓N與OB相切時，NP2=MN=4，且NP2⊥OB，此時MP3=4，則OM="ON-MN="NP2-4=．

③因為MN=4，所以當x>0時，MN＜ON，則MN=NP不存在，除了P1外，當MP=MN=4時，過點M作MD⊥OB于D，當OM=MP=4時，圓M與OB剛好交OB兩點P2和P3；

當MD=MN=4時，圓M與OB只有一個交點，此時OM=MD=，故4≤x＜．

與OB有兩個交點P2和P3，故答案為：x=0或x=或4≤x＜．