Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中，O為菱形ABCD的對稱中心，已知C（2，0），D（0，﹣1），N為線段CD上一點（不與C、D重合）．

（1）求以C為頂點，且經過點D的拋物線解析式；
（2）設N關于BD的對稱點為N1 ， N關于BC的對稱點為N2 ， 求證：△N1BN2∽△ABC；
（3）求（2）中N1N2的最小值；
（4）過點N作y軸的平行線交（1）中的拋物線于點P，點Q為直線AB上的一個動點，且∠PQA=∠BAC，求當PQ最小時點Q坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知，設拋物線解析式為y=a（x﹣2）2

把D（0，﹣1）代入，得a=﹣

∴y=﹣ （x﹣2）2

（2）解：如圖1，連結BN．

∵N1，N2是N的對稱點

∴BN1=BN2=BN，∠N1BD=∠NBD，∠NBC=∠N2BC

∴∠N1BN2=2∠DBC

∵四邊形ABCD是菱形

∴AB=BC，∠ABC=2∠DBC

∴∠ABC=∠N1BN2，

∴△ABC∽△N1BN2

（3）解：∵點N是CD上的動點，

∴點到直線的距離，垂線段最短，

∴當BN⊥CD時，BN最短．

∵C（2，0），D（0，﹣1）

∴CD= ，

∴BNmin= ，

∴BN1min=BNmin= ，

∵△ABC∽△N1BN2

∴ ，

N1N2min=

（4）解：如圖2，

過點P作PE⊥x軸，交AB于點E．

∵∠PQA=∠BAC

∴PQ1∥AC

∵菱形ABCD中，C（2，0），D（0，﹣1）

∴A（﹣2，0），B（0，1）

∴lAB：Y= x+1

不妨設P（m，﹣ （m﹣2）2），則E（m， m+1）

∴PE= m2﹣ m+2

∴當m=1時，

此時，PQ1最小，最小值為 = ，

∴PQ1=PQ2=

【解析】（1）由拋物線頂點在x軸上，可得拋物線可設為y=a(x-h)2再由頂點坐標C（2，0），點D（0，﹣1）利用待定系數法易得解析式為y=﹣ （x﹣2）2。
（2）由對稱易得BN1=BN2=BN，又AB=BC可得對應邊成比例，又由對稱易得∠ABC=∠N1BN2可證△ABC∽△N1BN2。
（3）由（2）△ABC∽△N1BN2，由于三邊比不變，所以BN1最小時，可得N1N2最小；由點與直線之間，垂線段最短，易得BN1⊥AD時最短，所以最后得證N1N2最小值。
（4）由所給條件∠PQA=∠BAC可得PQ1∥AC又已知菱形ABCD中，C（2，0），D（0，﹣1）可得A（﹣2，0），B（0，1）得到直線AB的解析式lAB：Y= x+1；若設P（m，﹣ （m﹣2）2），則可由點Q為直線AB上的一個動點得E（m， m+1），則PE為縱坐標的差PE= m2﹣ m+2；此時PQ1最小，易由三角函數可得PQ1=PQ2=

【考點精析】本題主要考查了二次函數的圖象和二次函數的性質的相關知識點，需要掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．