Question

【題目】如圖，對稱軸為直線x＝﹣1的拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸相交于A，B兩點．

（1）若點A的坐標為（﹣4，0），求點B的坐標．

（2）若已知a＝1，點A的坐標為（﹣3，0），C為拋物線與y軸的交點．

①若點P在拋物線上，且S△POC＝4S△BOC，求點P的坐標；

②設點Q是線段AC上的動點，作QD⊥x軸交拋物線于點D，求線段QD長度的最大值．

Answer 1

【答案】（1）B（2，0）；（2）①P（4，21），（﹣4，5）；②當m＝﹣時，QD的最大值為．

【解析】

（1）根據拋物線與x軸的兩個交點關于對稱軸對稱，可求B點坐標；
（2）①根據題意可求拋物線解析式，可求△BOC的面積，根據S△POC=4S△BOC，可求P點坐標；
③求出直線AC解析式，設點Q（m，-m-3）（-3≤m≤0），則點D（m，m2+2m-3），根據二次函數的最值求法，可求QD的最大值．

（1）∵對稱軸是直線x＝﹣1，點A的坐標為（﹣4，0），且A，B關于對稱軸對稱，

∴B（2，0）；

（2）①∵對稱軸是直線x＝﹣1，點A的坐標為（﹣3，0），且A，B關于對稱軸對稱，

∴B（1，0），即OB＝1，

∵a＝1，

∴拋物線解析式y＝（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3；

當x＝0時，y＝﹣3，

∴點C（0，﹣3），即OC＝3，

∴S△BOC＝OB×OC＝，

設P（x，x2+2x﹣3），

∴S△POC＝×3×|x|，

∵S△POC＝4S△BOC，

∴|x|＝4×，

∴x＝±4，

∴P（4，21），（﹣4，5）；

②∵點A（﹣3，0），點C（0，﹣3），

∴直線AC解析式y＝﹣x﹣3，

∴設點Q（m，﹣m﹣3）（﹣3≤m≤0），

則點D（m，m2+2m﹣3），

∴QD＝﹣m﹣3﹣（m2+2m﹣3）＝﹣（m+）2+，

∴當m＝﹣時，QD的最大值為．