Question

【題目】已知平行四邊形ABCD中，G為BC中點，點E在AD邊上，且∠1=∠2．

(1)求證：E是AD中點；

(2)若F為CD延長線上一點，連接BF，且滿足∠3=∠2，求證：CD=BF+DF．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）利用平行四邊形的性質，得到AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，證明△AEB≌△CGD，得到AE=CG，利用G為BC中點，即可解答；
（2）作輔助線，延長DF，BE，相交于點H，證明四邊形EBDG為平行四邊形，再證△AEB≌△DEH，得到AB=DH，即可解答．

解：(1)∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，
在△AEB和△CDG中，

∴△AEB≌△CGD，
∴AE=CG，
∵G為BC中點，
∴CG＝BC，
∴AE＝BC，
∵AD=BC，
∴AE＝AD，
∴E是AD的中點；

（2）如圖，延長DF，BE，相交于點H，

∵E為AD的中點，G為BC的中點，
∴DE＝AD，BG＝BC，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴DE=BG，DE∥BG，
∴四邊形EBGD為平行四邊形，
∴BE∥DG，
∴∠H=∠2，
∵∠3=∠2，
∴∠H=∠3，
∴BF=HF，
∵∠1=∠2，
∴∠H=∠1，
∵E為AD的中點，
∴AE=DE，
在△AEB和△DEH中，

∴△AEB≌△DEH，
∴AB=DH，
∵AB=CD，
∴CD=DH，
∵DH=HF+FD，HF=BF，
∴DH=BF+FD，
∴CD=BF+FD．