Question

如圖（1），矩形ABCD的一邊BC在直角坐標系中軸上，折疊邊AD，使點D落在軸上點F處，折痕為AE，已知AB=8，AD=10，并設點B坐標為，其中＞0.

（1）求點E、F的坐標（用含的式子表示）；
（2）連接OA，若△OAF是等腰三角形，求的值；
（3）設拋物線經過圖（1）中的A、E兩點，如圖（2），其頂點為M，連結AM，若∠OAM=90°，求、、的值.

Answer 1

（1）E(m+10，3)，F（m+6，0）；（2）6或4或；（3），-1，12

試題分析：（1）∵根據矩形的性質可得AD=BC=10，AB=CD=8，∠D=∠DCB=∠ABC=90°，由折疊對稱性可得AF=AD=10，FE=DE，在Rt△ABF中，根據勾股定理可求得BF的長，從而可得FC的長，設DE=x，在Rt△ECF中，根據勾股定理即可列方程求得x的值，從而得到CE的長，即得結果；
（2）分三種情形討論：若AO=AF，若OF=AF，若AO=OF，根據等腰三角形的性質及勾股定理求解；
（3）由（1）知A(m，8)，E(m+10，3)，再代入拋物線即可求得、的值，從而表示出點M的坐標，設對稱軸交AD于G，即可表示出點G的坐標，求得AG、GM的長，再證得△AOB∽△AMG，根據相似三角形的性質即可求得結果.
（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD=BC=10，AB=CD=8，∠D=∠DCB=∠ABC=90°.
由折疊對稱性：AF=AD=10，FE=DE.
在Rt△ABF中，BF=.
∴FC="4."
設DE=x，在Rt△ECF中，，解得
∴CE= 
∵B（m，0）
∴E(m+10，3)，F（m+6，0）；
（2）分三種情形討論：
若AO=AF，∵AB⊥OF，∴OB=BF=6.∴m=6.
若OF=AF，則m+6=10，解得m=4.  
若AO=OF，在Rt△AOB中，AO²=OB²+AB²=m²+64，
∴，解得m=.   
綜合得m=6或4或；
（3）由（1）知A(m，8)，E(m+10，3).
由題意得， 解得  
∴M（m+6，﹣1）.
設對稱軸交AD于G.
∴G（m+6，8），
∴AG=6，GM=
∵∠OAB+∠BAM=90°，∠BAM+∠MAG=90°，
∴∠OAB=∠MAG.
又∵∠ABO=∠MGA=90°，
∴△AOB∽△AMG.  
∴，即
∴m=12.
點評：二次函數的綜合題是初中數學的重點和難點，在中考中極為常見，一般以壓軸題形式出現，難度較大.