Question

某工廠生產(chǎn)某品牌的護(hù)眼燈，并將護(hù)眼燈按質(zhì)量分成15個(gè)等級（等級越高，質(zhì)量越好．如：二級產(chǎn)品好于一級產(chǎn)品）．若出售這批護(hù)眼燈，一級產(chǎn)品每臺(tái)可獲利21元，每提高一個(gè)等級每臺(tái)可多獲利潤1元，工廠每天只能生產(chǎn)同一個(gè)等級的護(hù)眼燈，每個(gè)等級每天生產(chǎn)的臺(tái)數(shù)如下表表示：

等級（x級）	一級	二級	三級	…
生產(chǎn)量（y臺(tái)/天）	78	76	74	…

（1）已知護(hù)眼燈每天的生產(chǎn)量y（臺(tái)）是等級x（級）的一次函數(shù)，請直接寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式：_____；
（2）每臺(tái)護(hù)眼燈可獲利z（元）關(guān)于等級x（級）的函數(shù)關(guān)系式：______；
（3）若工廠將當(dāng)日所生產(chǎn)的護(hù)眼燈全部售出，工廠應(yīng)生產(chǎn)哪一等級的護(hù)眼燈，才能獲得最大利潤？最大利潤是多少？

Answer 1

（1）y＝-2x+80；（2）；（3）1800元.

試題分析：（1）由于護(hù)眼燈每天的生產(chǎn)量y（臺(tái)）是等級x（級）的一次函數(shù)，所以可設(shè)y＝kx+b，再把代入，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)“一級產(chǎn)品每臺(tái)可獲利21元，每提高一個(gè)等級每臺(tái)可多獲利潤1元”即可直接寫出答案；
（3）設(shè)工廠生產(chǎn)x等級的護(hù)眼燈時(shí)，獲得的利潤為w元．由于等級提高時(shí)，帶來每臺(tái)護(hù)眼燈利潤的提高，同時(shí)銷售量下降．而x等級時(shí)，每臺(tái)護(hù)眼燈的利潤為[21+1（x-1）]元，銷售量為y元，根據(jù)：利潤＝每臺(tái)護(hù)眼燈的利潤×銷售量，列出w與x的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出最大利潤．
試題解析：
（1）由題意，設(shè)y＝kx+b．
把（1，78）、（2，76）代入，得，解得，
∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝-2x+80．故答案為y＝-2x+80；
（2）∵一級產(chǎn)品每臺(tái)可獲利21元，每提高一個(gè)等級每臺(tái)可多獲利潤1元
∴每臺(tái)護(hù)眼燈可獲利z（元）關(guān)于等級x（級）的函數(shù)關(guān)系式：；
（3）設(shè)工廠生產(chǎn)x等級的護(hù)眼燈時(shí)，獲得的利潤為w元．
由題意，有w＝[21+1（x-1）]y
＝[21+1（x-1）]（-2x+80）
＝-2（x-10）²+1800，
所以當(dāng)x＝10時(shí)，可獲得最大利潤1800元．
故若工廠將當(dāng)日所生產(chǎn)的護(hù)眼燈全部售出，工廠應(yīng)生產(chǎn)十級的護(hù)眼燈時(shí)，能獲得最大利潤，最大利潤是1800元．