Question

25、如圖，已知菱形ADEF和等腰三角形ABC，AB=AC，∠BAC=54°，點B、C分別在DE、EF．（B、C分別不與E、F重合）
（1）如圖1，當AE平分∠BAC時，
①求證：BD=CF；
②當AD=AB時，求∠ABD的度數；
（2）如圖2，當AE不平分∠BAC時，若△ADB是一個等腰三角形，求∠ABD的度數．

Answer 1

分析：（1）由AE平分∠BAC，AB=AC，AE=AE，易證△ABE≌△ACE，則BE=CE，又四邊形ADEF是菱形，可得DE=EF，即可得證；
（2）過點A作AM⊥DE于點M，AN⊥EF于點N，由AE平分∠DEF得AM=AN，可證Rt△AMB≌Rt△ANC（HL），則∠MAB=∠NAC，∠MAN=∠BAC；根據等角的補角相等可得，∠D=∠MAN=∠BAC=54°，最后要分三種情況討論求解：Ⅰ．當BD=BA時；Ⅱ．當AD=AB時；Ⅲ．因為DA不可能等于DB，所以第三種情況不存在．

解答：解：（1）①證明：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE，
又∵AB=AC，AE=AE，
∴△ABE≌△ACE（2分）
∴BE=CE，
∵四邊形ADEF是菱形，
∴DE=EF
∴DB=CF（5分）
②當AD=AB時，設∠D=x°，得∠FAC=∠DAB=（180-2x）°（6分）
由AF∥DE得∴x+2（180-2x）+54=180
解得x=78∴∠ABD=78°（9分）

（2）過點A作AM⊥DE于點M，AN⊥EF于點N，由AE平分∠DEF得AM=AN，
又∵AB=AC
∴Rt△AMB≌Rt△ANC
∴∠MAB=∠NAC
∴∠MAN=∠BAC
又∵∠MAN+∠MEN=180°，∠D+∠MEN=180°
∴∠D=∠MAN=∠BAC=54°（11分）
若△ADB是一個等腰三角形，下面分三種情況討論：
Ⅰ．當BD=BA時，得∠D=∠DAB=54°
解得∠ABD=72°（12分）
Ⅱ．當AD=AB時，得∠ABD=∠D=54°，
由∠BAC=54°得AC∥DE
∴AC與AF重合，這與AC與AF不重合矛盾
∴此種情況不存在．
Ⅲ．因為DA不可能等于DB，所以第三種情況不存在．
綜上所述：當△ADB是一個等腰三角形時，∠ABD的度數等于72°（13分）

點評：本題主要考查菱形的性質，同時綜合利用全等三角形的判定方法及等腰三角形的性質，注意題意中的“△ADB是一個等腰三角形”，哪兩條邊是腰，應該分情況討論．