Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，經過點A，C，B的拋物線的一部分與經過點A，E，B的拋物線的一部分組合成一條封閉曲線，我們把這條封閉曲線稱為“雙拋物線”．已知P為AB中點，且P（-1，0），C（-1，1），E（0，-3），S_△CPA=1．
（1）試求“雙拋物線”中經過點A，E，B的拋物線的解析式；
（2）若點F在“雙拋物線”上，且S_△FAP=S_△CAP，請你直接寫出點F的坐標；
（3）如果一條直線與“雙拋物線”只有一個交點，那么這條直線叫做“雙拋物線”的切線．若過點E與x軸平行的直線與“雙拋物線”交于點G，求經過點G的“雙拋物線”切線的解析式．

Answer 1

解：（1）∵S_△ACP=AP•|y_C|=1，由題意知：|y_C|=1，
∴AP=2，即A（-3，0）；
由于A、B關于點P對稱，則B（1，0）；
設經過A、E、B的拋物線的解析式為：y=a（x+3）（x-1），則有：
a（0+3）（0-1）=-3，a=1，
故所求拋物線的解析式為：y=（x+3）（x-1）=x²+2x-3．

（2）由于△PAC和△PAF同底，若S_△FAP=S_△CAP，那么C、F的縱坐標的絕對值相同；
當F點的縱坐標為1時，C、F關于直線x=-1對稱，則F（--1，1）；
當F點縱坐標為-1時，代入y=x²+2x-3中，得：x²+2x-3=-1，
解得x=-1±；
故F（-1+，-1）或（-1-，-1）；
綜上可知：存在符合條件的F點，且坐標為：F₁（--1，1）、F₂（-1+，-1）、F₃（-1-，-1）．

（3）由于EG∥x軸，則E、G關于直線x=-1對稱，故G（-2，-3）；
設經過點G的“雙拋物線”的切線的解析式為：y=kx+b，
則有：-2k+b=-3，b=2k-3；
∴y=kx+2k-3；
由于G點同時在切線和拋物線的圖象上，
則有：x²+2x-3=kx+2k-3，
即x²+（2-k）x-2k=0，
由于兩個函數只有一個交點，則：
△=（2-k）²+8k=0，
解得k=-2；
故所求切線的解析式為：y=-2x-7．
分析：（1）已知了△APC的面積和點C的縱坐標，即可得到AP的長，進而可根據P點坐標，求出A、B的坐標，從而利用待定系數法求得過A、E、B三點的拋物線解析式．
（2）顯然C點關于雙拋物線的對稱軸的對稱點符合點F的要求，其坐標易求得；若F、C的縱坐標互為想法是，則F點的縱坐標為-1，將其代入過A、E、B三點的拋物線的解析式中，即可求得另兩個點F的坐標．
（3）由于E、G關于拋物線的對稱軸對稱，易求得G點的坐標，設出經過點G的切線的解析式，將點G的坐標代入該直線的解析式中，即可消去一個未知數，然后聯立（1）所得拋物線的解析式，由于兩個函數只有一個交點，那么所得方程的根的判別式△=0，可據此求出該切線的解析式．
點評：此題主要考查了三角形面積的計算方法、二次函數的對稱性、二次函數解析式的確定、函數圖象交點坐標的求法以及根的判別式等重要知識，涉及的知識面廣，難度較大．