Question

【題目】在小學，我們已經初步了解到，長方形的對邊平行且相等，每個角都是90°.如圖，長方形ABCD中，AD=9cm，AB=4cm，E為邊AD上一動點，從點D出發，以1cm/s向終點A運動，同時動點P從點B出發，以acm/s向終點C運動,運動的時間為ts.

（1）當t=3時，

①求線段CE的長；

②當EP平分∠AEC時，求a的值；

（2）若a=1,且△CEP是以CE為腰的等腰三角形,求t的值；

（3）連接DP,直接寫出點C與點E關于DP對稱時的a與t的值.

Answer 1

【答案】（1）①5cm；②；（2）3或；（3），t=4.

【解析】試題分析:(1) ①當t=3時,根據路程=速度×時間,可求出DE=3,然后由勾股定理可計算出CE, ②當EP平分∠AEC時,根據角平分線的性質可得:點P到EC的距離等于點P到AD的距離,即EC邊上的高等于4,利用等積法可求PC,再利用線段和差關系求BP,根據速度=路程÷時間,可計算出a,(2)根據線和差關系,勾股定理把PC,PE,CE用含t的代數式表示出來,然后根據等腰三角形的性質分情況討論,列出關于t的方程,解方程即可求解,(3)根據點C與點E關于DP對稱,可得DP垂直平分CE,所以DE=CD,PE=PC,然后根據DE=CD,可先計算出t,然后根據PE=PC可求出a.

試題解析:(1) ①當t=3時,則DE=3,

在Rt△CDE中, 由勾股定理可得:CE=,

②當EP平分∠AEC時,根據角平分線的性質可得:點P到EC的距離等于點P到AD的距離,即EC邊上的高等于4,所以,

所以,

所以PC=5,則PB=BC－PC=9－5=4,

又因為PB=at=3t,

所以3t=4,解得a=,

(2) 在Rt△CDE中, 由勾股定理可得:CE=,

所以PC=BC－BP=9－t,

由勾股定理可得:PE=,

當EC=PE時,

=,解得t=3或t=9(不符合題意,舍去),

當EC=PC時,

=9－t,解得t=,

所以t=3或t=,

(3) 因為點C與點E關于DP對稱,

所以DP垂直平分CE,所以DE=CD=4,PE=PC,

所以DE=t=4,

因為BP=at,所以BP=4a，

所以PC=9－4a,

由勾股定理可得:PE=,

=9－4a,解得a=,

所以a=,t=4.