Question

【題目】如圖，拋物線y=+bx﹣4（a≠0）與x軸交于A（4，0），B（﹣1，0）兩點，過點A的直線y=﹣x+4交拋物線于點C．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）在直線AC上有一動點E，當點E在某個位置時，使△BDE的周長最小，求此時E點坐標．

Answer 1

【答案】(1) y=﹣3x﹣4；(2) E（，）．

【解析】

試題分析：（1）直接把點A（4，0），B（﹣1，0）代入拋物線y=+bx﹣4求出a、b的值，進而可得出拋物線的解析式；

（2）先判斷出周長最小時BE⊥AC，即作點B關于直線AC的對稱點F，連接DF，交AC于點E，聯立方程組即可．

試題解析：（1）∵拋物線y=+bx﹣4與x軸交于兩點A（4，0），B（﹣1，0），

∴，解得，

∴此拋物線的解析式為：y=﹣3x﹣4；

（2）如圖1，作點B關于直線AC的對稱點F，連接DF交AC于點E，

由（1）得，拋物線解析式為y=﹣3x﹣4，

∴D（0，﹣4），

∵直線y=﹣x+4交拋物線于點C，

∴，解得，或，

∴C（﹣2，6），

∵A（4，0），

∵直線AC解析式為y=﹣x+4，直線BF⊥AC，且B（﹣1，0），

∴直線BF解析式為y=x+1，

設點F（m，m+1），

∴G（，），

∵點G在直線AC上，

∴+4=，

∴m=4，

∴F（4，5），

∵D（0，﹣4），

∴直線DF解析式為y=x﹣4，

解得，

∴直線DF和直線AC的交點E（，）．