Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在x、y軸的正半軸上，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，2）點(diǎn)M是邊BC上的一個(gè)動點(diǎn)（不與B、C重合），反比例函數(shù) （k＞0，x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)M且與邊AB交于點(diǎn)N，連接MN．

（1）當(dāng)點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)時(shí)，求反比例函數(shù)的表達(dá)式；

（2）在點(diǎn)M的運(yùn)動過程中，試證明：是一個(gè)定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析．

【解析】

（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得反比例函數(shù)解析式；

（2）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得點(diǎn)M、N坐標(biāo)，根據(jù)線段的和差，可得MB，BN，根據(jù)分式的性質(zhì)，可得答案．

（1）矩形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在x、y軸的正半軸上，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，2），點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)，得M（2，2）．

反比例函數(shù)y=（k＞0，x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)M，∴k=2×2=4，反比例函數(shù)解析式為：．

（2）設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（x，2）．

∵反比例函數(shù)y=（k＞0，x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)M，∴2x=k，∴x=，∴MB=4﹣=．

∵反比例函數(shù)y=（k＞0，x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)M且與邊AB交于點(diǎn)N，∴N點(diǎn)的橫坐標(biāo)是4，當(dāng)x=4時(shí)，y=，∴N點(diǎn)的坐標(biāo)是（4，），∴NB=2﹣=

==2，∴是一個(gè)定值．