Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=13cm，BC=16cm，CD=5cm．以AB為直徑作圓O，動點P沿AD方向從點A開始向點D以1厘米/秒的速度運動，動點Q沿CB方向從點C開始向點B以2厘米/秒的速度運動，點P、Q分別從A、C兩點同時出發，當其中一點停止時，另一點也隨之停止運動．
（1）求⊙O的半徑長．
（2）求四邊形PQCD的面積y關于P、Q運動時間t的函數表達式，并求出當四邊形PQCD為等腰梯形時，四邊形PQCD的面積．
（3）是否存在某一時刻t，使直線PQ與⊙O相切？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）過點D作DE⊥BC于E，則四邊形ABED是矩形，AB=ED，所以求出DE，就求出了圓的直徑．
（2）要求四邊形PQCD的面積，只需用t表達出CQ和PD．當四邊形PQCD為等腰梯形時，CQ-PD=2CE，即2t-（13-t）=6，即可求出t的值，從而確定四邊形的面積．
（3）先假設存在，構造直角三角形，利用勾股定理得出方程，解方程，若方程有解，則存在，若方程無解，則不存在．

解答：解：（1）過點D作DE⊥BC于E，

∵AB⊥BC，∴四邊形ADEB為矩形，
∴BE=AD=13，EC=3．
又∵CD=5，
∴DE=

52-32

=4，即AB=4，
∴⊙O的半徑為2cm．

（2）當P、Q運動t秒時，AP=t，CQ=2t
則S_{四邊形PQCD}=y=

1

2

（13-t+2t）×4，即y=2t+26（0≤t≤8）
當四邊形PQCD為等腰梯形時，過P作PF⊥BC于F（如圖一），
則有QF=CE=3．
∴2t-（13-t）=6，
則t=

19

3

．
此時四邊形PQCD面積y=

116

3

（cm²），

（3）存在．
若PQ與圓相切，設切點為G．（如圖二）
作PH⊥BC于H．
∵A在⊙O上，∠A=90°，
∴AD切⊙O于A，
∵PQ切⊙O于G，
∴由切線長定理得：PG=PA=t．
QG=QB=16-2t，QH=QB-BH=（16-2t）-t=16-3t
PQ=QB+AP=16-t．
在Rt△PQH中，PQ²=PH²+QH²，即（16-t）²=16+（16-3t）²
∴t²-8t+2=0．
解得t₁=4+

14

，t₂=4-

14

，
∵0≤t≤8，
∴當t=4±

14

時，PQ與圓相切．

點評：本題是一個動點問題，解題時要善于將動點問題轉化為靜態題．此題是一個大綜合題，難度較大，有利于培養同學們的鉆研精神和堅韌不拔的意志品質．