Question

如圖，已知點E是矩形ABCD的邊CB延長線上一點，且CE=CA，連接AE，過點C作CF⊥AE，垂足為點F，連接BF、FD．
（1）求證：△FBC≌△FAD；
（2）連接BD，若cos∠FBD=，且BD=10，求FC的值．

Answer 1

（1）證明：∵CE=AC，CF⊥AE，
∴AF=EF，
∴在Rt△ABE中，BF=AF，
∴∠FBA=∠FAB，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠ABC=∠BAD=90°，
∴∠FBA+∠ABC=∠FAB+∠BAD，
即∠FAD=∠FBC，
在△FBC和△FAD中，
∵，
∴△FBC≌△FAD（SAS）；

（2）解：∵△FBC≌△FAD，
∴FC=FD，∠BFC=∠AFD，
∴∠BFD=∠BFC+∠CFD=∠AFD+∠CFD=90°，
∵cos∠FBD==，BD=10，
∴FB=×10=6，
∴FD===8，
∴FC=8．
分析：（1）根據等腰三角形三線合一的性質可得AF=EF，再根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得BF=AF，然后利用等邊對等角的性質得到∠FBA=∠FAB，從而推出∠FAD=∠FBC，再根據矩形的對邊相等可得AD=BC，然后利用“邊角邊”即可證明；
（2）根據（1），利用全等三角形對應邊相等可得FC=FD，全等三角形對應角相等可得∠BFC=∠AFD，然后證明∠BFD=90°，再根據余弦=求出FB的長度，然后利用勾股定理列式計算即可求出FD，從而得解．
點評：本題考查了矩形的性質，全等三角形的判定，等腰三角形三線合一的性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，以及銳角三角函數，綜合性較強，但難度不大，求出∠FAD=∠FBC是證明三角形全等的關鍵，也是本題的難點．