Question

如圖，已知點(diǎn)E是矩形ABCD的邊CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CE=CA，連接AE，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AE，垂足為點(diǎn)F，連接BF、FD．
（1）求證：△FBC≌△FAD；
（2）連接BD，若cos∠FBD=

3

5

，且BD=10，求FC的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AF=EF，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得BF=AF，然后利用等邊對(duì)等角的性質(zhì)得到∠FBA=∠FAB，從而推出∠FAD=∠FBC，再根據(jù)矩形的對(duì)邊相等可得AD=BC，然后利用“邊角邊”即可證明；
（2）根據(jù)（1），利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得FC=FD，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠BFC=∠AFD，然后證明∠BFD=90°，再根據(jù)余弦=

鄰邊

斜邊

求出FB的長(zhǎng)度，然后利用勾股定理列式計(jì)算即可求出FD，從而得解．

解答：（1）證明：∵CE=AC，CF⊥AE，
∴AF=EF，
∴在Rt△ABE中，BF=AF，
∴∠FBA=∠FAB，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠ABC=∠BAD=90°，
∴∠FBA+∠ABC=∠FAB+∠BAD，
即∠FAD=∠FBC，
在△FBC和△FAD中，
∵

AD=BC ∠FAD=∠FBC BF=AF

，
∴△FBC≌△FAD（SAS）；

（2）解：∵△FBC≌△FAD，
∴FC=FD，∠BFC=∠AFD，
∴∠BFD=∠BFC+∠CFD=∠AFD+∠CFD=90°，
∵cos∠FBD=

FB

BD

=

3

5

，BD=10，
∴FB=

3

5

×10=6，
∴FD=

BD2-FB2

=

102-62

=8，
∴FC=8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，以及銳角三角函數(shù)，綜合性較強(qiáng)，但難度不大，求出∠FAD=∠FBC是證明三角形全等的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．