Question

【題目】在平面直角坐標系中，一次函數y=x+3的圖象與x軸交于點A，二次函數y=x2+mx+n的圖象經過點A．
（1）當m=4時，求n的值；
（2）設m=﹣2，當﹣3≤x≤0時，求二次函數y=x2+mx+n的最小值；
（3）當﹣3≤x≤0時，若二次函數﹣3≤x≤0時的最小值為﹣4，求m、n的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當y=x+3=0時，x=﹣3，

∴點A的坐標為（﹣3，0）．

∵二次函數y=x2+mx+n的圖象經過點A，

∴0=9﹣3m+n，即n=3m﹣9，

∴當m=4時，n=3m﹣9=3

（2）解：拋物線的對稱軸為直線x=﹣ ，

當m=﹣2時，對稱軸為x=1，n=3m﹣9=﹣15，

∴當﹣3≤x≤0時，y隨x的增大而減小，

∴當x=0時，二次函數y=x2+mx+n的最小值為﹣15

（3）解：①當對稱軸﹣ ≤﹣3，即m≥6時，如圖1所示．

在﹣3≤x≤0中，y=x2+mx+n的最小值為0，

∴此情況不合題意；

②當﹣3＜﹣ ＜0，即0＜m＜6時，如圖2，

有 ，

解得： 或 （舍去），

∴m=2、n=﹣3；

③當﹣ ≥0，即m≤0時，如圖3，

有 ，

解得： （舍去）．

綜上所述：m=2，n=﹣3．

【解析】（1）利用一次函數圖象上點的坐標特征可求出點A的坐標，再利用二次函數圖象上點的坐標特征可得出n=3m﹣9，代入m=4可求出n值；（2）由m=﹣2可求出拋物線對稱軸為x=1、n=﹣15，由當﹣3≤x≤0時，y隨x的增大而減小，即可得出此時二次函數y=x2+mx+n的最小值；（3）分m≥6、0＜m＜6和m≤0三種情況，結合二次函數的圖象以及y在﹣3≤x≤0時的最小值為﹣4，即可求出m、n的值．