Question

【題目】如圖1，正方形ABCD的邊長為8，⊙O經過點C和點D，且與AB相切于點E．

（1）求⊙O的半徑；
（2）如圖2，平移⊙O，使點O落在BD上，⊙O經過點D，BC與⊙O交于M，N，求MN2的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接EO，延長EO交CD于F，連接DO，設半徑為x．

∵AB切○O于E，

∴EF⊥AB，

∵AB∥CD，

∴EF⊥CD，

∴∠OFD=90°，

在Rt△DOF中，∵∠OFD=90°，OF2+DF2=OD2，

∴x2=（8﹣x）2+42，

∴x=5，

∴⊙O的半徑為5

（2）解：如圖2中，作OP⊥BC于P，連接ON，則OD=ON=5，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴BD=8 ，OB=BD﹣OD=8 ﹣5，OP= =8﹣ ，

∴PN2=ON2﹣OP2=52﹣（8﹣ ）2=40 ﹣51.5，

∵MN=2PN，

∴MN2=4PN2=4（40 ﹣51.5）=160 ﹣206

【解析】（1）連接EO，延長EO交CD于F，連接DO，設半徑為x．根據切線的性質知EF⊥AB，根據平行線的性質及垂直的定義得出∠OFD=90°，在Rt△DOF中利用勾股定理列出方程求出解，即得到該圓的半徑；
（2）如圖2中，作OP⊥BC于P，連接ON，根據同圓的半徑相等得OD=ON=5，根據正方形的性質及勾股定理得出BD的長，進而得出OB,根據平行線分線段成比例得出OP的長，根據勾股定理得出PN2=ON2﹣OP2，從而列出方程求出PN的長，最后根據垂徑定理得出MN的長算出答案。
【考點精析】通過靈活運用平行線的判定與性質和正方形的性質，掌握由角的相等或互補（數量關系）的條件，得到兩條直線平行（位置關系）這是平行線的判定；由平行線（位置關系）得到有關角相等或互補（數量關系）的結論是平行線的性質；正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形即可以解答此題．