Question

如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝5米，AC＝12米.M點在線段CA上，從C向A運動，速度為1米/秒；同時N點在線段AB上，從A向B運動，速度為2米/秒.運動時間為t秒.

（1）當t為何值時，∠AMN＝∠ANM？
（2）當t為何值時，△AMN的面積最大？并求出這個最大值.

Answer 1

（1）t為4秒  （2）t＝6秒時，S最大值＝m²

解析解：（1）∵從C向A運動，速度為1米/秒；同時N點在線段AB上，從A向B運動，速度為2米/秒.運動時間為t秒.
∴AM＝12－t，AN＝2t，
∵∠AMN＝∠ANM，
∴AM＝AN，從而12－t＝2t，
解得：t＝4秒，
∴當t為4秒時，∠AMN＝∠ANM.
（2）如圖，作NH⊥AC于H，

∴∠NHA＝∠C＝90°，
∴NH∥BC，
∴△NHA∽△BCA，
∴＝，
即：＝，∴NH＝t，
從而有S_△AMN＝（12－t）·t＝－t²＋t，
∴當t＝6秒時，S最大值＝m².