Question

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線的頂點A的坐標為（3,15），且過點（－2，10），對稱軸AB交軸于點B，點E是線段AB上一動點，以EB為邊在對稱軸右側作矩形EBCD，使得點D恰好落在拋物線上，點D′是點D關于直線EC的軸對稱點.

（1）求拋物線的解析式；
（2）若點D′恰好落在軸上的點（0，6）時，求此時D點的坐標；
（3）直線CD′交對稱軸AB于點F,
①當點D′在對稱軸AB的左側時，且△ED′F∽△CDE，求出DE:DC的值；
②連結B D′，是否存在點E，使△E D′B為等腰三角形？若存在，請直接寫出BE:BC的值，若不存在請說明理由.

Answer 1

（1）;（2）(8,10); （3）①;②.

試題分析：（1）由已知,應用待定系數法設頂點式求解;
（2）根據勾股定理和軸對稱的性質列方程組求解;
（3）①由勾股定理和相似三角形的性質列式求解;
②由①可知△ED′F≌△CBF時, D′F=BF,從而得出結論.
試題解析：（1）∵拋物線的頂點A的坐標為（3,15），
∴可設拋物線的解析式為.
∵拋物線過點（－2，10）, ∴.解得.
∴拋物線的解析式為,即.
（2）設D(x,ｙ),則E(3, ｙ), DE="x-3," DC=ｙ.
由D′（0，6）,根據勾股定理,得: D′C=, D′E=,
根據軸對稱的性質,有D′C="DC," D′E= DE,即,解得.
∴此時D點的坐標為(8,10).

（3）①易證△ED′F≌△CBF,則D′F=BF.
設D′C=DC=a,D′E=DE=b,D′F=BF=c,
在Rt△CBF中,由勾股定理,得:CF²=BF²+D′C²,即(D′C- D′F)²=BF²+D′C².
∴,整理,得.
∵△ED′F∽△CDE，∴,即,即,即,即.
∴DE:DC=.
②存在,由①可知BE:BC=.