Question

【題目】在已知線段AB的同側構造∠FAB＝∠GBA，并且在射線AF，BG上分別取點D和E，在線段AB上取點C，連結DC和EC．

Ⅰ、如圖，若AD＝3，BE＝1，△ADC≌△BCE．在∠FAB＝∠GBA＝60或∠FAB＝∠GBA＝90兩種情況中任選一種，解決以下問題：
①線段AB的長度是否發生變化，直接寫出長度或變化范圍；
②∠DCE的度數是否發生變化，直接寫出度數或變化范圍．
Ⅱ、若AD＝a，BE＝b，∠FAB＝∠GBA＝α，且△ADC和△BCE這兩個三角形全等，請求出：
①線段AB的長度或取值范圍，并說明理由；
②∠DCE的度數或取值范圍，并說明理由．

Answer 1

【答案】選圖一
Ⅰ、①AB＝4，不變；
②∠DCE＝60.
Ⅱ、當a b時，①AB＝ a＋b； ②∠DCE＝α
當a=b時，①AB＞0. ②0＜∠DCE＜180.
選圖二
Ⅰ、① AB＝4，不變； ②∠DCE＝90.
Ⅱ、當a b時，①AB＝ a＋b； ②∠DCE＝α
當a=b時，① AB＞0. ②0＜∠DCE＜180.
【解析】選圖一
Ⅰ、①∵△ADC≌△BCE，
∴BC=AD=3，AC=BE=1，
∴AB=AC+BC=4，
即AB＝4，不變；
②∵∠FAB＝∠GBA＝60，
∴∠ADC+∠ACD=120，
∵△ADC≌△BCE，∴∠ADC=∠BCE，
∴∠BCE+∠ACD=120，
∴∠DCE＝60.
Ⅱ、當a b時，則△ADC≌△BCE，
①∵△ADC≌△BCE，∴BC=AD=a，AC=BE=b，則AB＝ a＋b；
②∠DCE＝α
當a=b時，則△ADC≌△BEC，∴AC=BC，則
①AB＞0. ②0＜∠DCE＜180.
選圖二
Ⅰ、①∵△ADC≌△BCE，
∴BC=AD=3，AC=BE=1，
∴AB=AC+BC=4，
即AB＝4，不變；
②∵∠FAB＝∠GBA＝90，
∴∠ADC+∠ACD=90，
∵△ADC≌△BCE，∴∠ADC=∠BCE，
∴∠BCE+∠ACD=90，
∴∠DCE＝90.
Ⅱ、當a b時，則△ADC≌△BCE，
①∵△ADC≌△BCE，∴BC=AD=a，AC=BE=b，則AB＝ a＋b；
②∵∠FAB＝∠GBA＝α，
∴∠ADC+∠ACD=180-α，
∵△ADC≌△BCE，∴∠ADC=∠BCE，
∴∠BCE+∠ACD=180-α，
則∠DCE＝α；
當a=b時，則△ADC≌△BEC，∴AC=BC，則
①AB＞0. ②0＜∠DCE＜180.
根據△ADC與△BCE各對頂點和各對應邊，且已知∠FAB＝∠GBA，所以A與B對應，
在Ⅰ中，根據△ADC≌△BCE，得到對應邊相等，由等量代換得到AB的長，根據對應角相等、三角形內角和與平角的定義可求得∠DCE；
在Ⅱ中要分D與C對應和D與E對應就這兩種情況討論，做法與Ⅰ中類似.