Question

已知關于x的一元二次方程x²-（2m-1）x+m²-m=0．
（1）證明不論m取何值時，方程總有兩個不相等的實數根；
（2）若m≠0，設方程的兩個實數根分別為x₁，x₂（其中x₁＞x₂），若y是關于m的函數，且y=1-

x2

x1

，結合函數圖象回答：當自變量m滿足什么條件時，y≤2？

Answer 1

分析：（1）由拋物線與x軸有兩個交點可知△＞0，根據△=b²-4ac即可得到關于m的不等式，判斷出△的取值范圍即可；
（2）令y=0，解關于x的一元二次方程x²-（2m-1）x+m²-m=0，求出方程的兩實數根，把兩實數根代入函數y=1-

x2

x1

即可得到關于m，y的函數，畫出此函數及y=2的圖象，根據兩函數圖象的交點即可得出結論．

解答：解：（1）由題意有△=[-（2m-1）]²-4（m²-m）=1＞0．
∴不論m取何值時，方程總有兩個不相等的實數根．

（2）令y=0，解關于x的一元二次方程x²-（2m-1）x+m²-m=0，
得 x=m或x=m-1．
∵x₁＞x₂，
∴x₁=m，x₂=m-1．
∴y=1-

x2

x1

=1-

m-1

m

=

1

m

．
畫出y=

1

m

與y=2的圖象．如圖，
由圖象可得，當m≥

1

2

或m＜0時，y≤2．

點評：此題主要考查了拋物線與x軸的交點，根的判別式，解答此題的關鍵是利用數形結合的思想畫出函數圖象，再根據函數圖象直接解答．