Question

【題目】(1)如圖1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經過點A，BD⊥直線m, CE⊥直線m，垂足分別為點D、E.證明：DE＝BD＋CE.

(2)如圖2，將(1)中的條件改為：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α為任意銳角或鈍角．請問結論DE＝BD＋CE是否成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由.

圖1 圖2

Answer 1

【答案】(1)、證明過程見解析；(2)、成立；理由見解析.

【解析】

試題分析：(1)、根據BD⊥直線m，CE⊥直線m得出∠BDA＝∠AEC＝90°，然后根據∠BAC＝90°得出∠DBA＝∠EAC，從而說明△ABD和△CAE全等，得出BD＝AE，AD＝CE，從而得出答案；(2)、根據∠BDA＝α得出∠DBA+∠BAD＝180°－α，根據∠BAC =α得出∠BAD+∠EAC＝180°－α，從而說明∠DBA ＝∠EAC，然后得出△ABD和△CAE全等，從而得出BD＝AE，AD＝CE，然后得出答案.

試題解析：(1)、∵BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為D、E ∴∠BDA＝∠AEC＝90°

∴∠DBA+∠BAD＝90° ∵∠BAC＝90° ∴∠BAD+∠EAC＝90° ∴∠DBA＝∠EAC

在△ABD與△CAE中 ∵ ∴△ABD≌△CAE

∴BD＝AE，AD＝CE ∴DE＝AD+AE＝CE+BD

(2)、結論DE＝BD+CE成立

在△ABD中，∵∠BDA＝α ∴∠DBA+∠BAD＝180°－α ∵∠BAC =α ∴∠BAD+∠EAC＝180°－α

∴∠DBA ＝∠EAC

在△ABD與△CAE中，∵ ∴△ABD≌△CAE ∴BD＝AE，AD＝CE ∴DE＝AD+AE＝CE+BD