Question

【題目】如圖，在中，，，為的中點，、分別是、(或它們的延長線)上的動點，且．

（1）當時，如圖①，線段和線段的關系是：_________________；

（2）當與不垂直時，如圖②，（1）的結論還成立嗎？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；

（3）當、運動到、的延長線時，如圖③，請直接寫出、、之間的關系．

Answer 1

【答案】（1），；（2）成立，證明見解析；（3）

【解析】

（1）連接CO，證明△AOM≌△CON可證得OM=ON，∠CON=∠AOM=45°，再證明∠COM=45°即可證明出結論；

（2）連接CO，證明可證得OM=ON，再證明即可得到結論；

（3）同（2）得：△OCF≌△OBN，，得出S△OMN=S五邊形OBNMC=S△CMN+S△OCB=S△CMN+S△ABC．

（1）∵，，

∴∠A=45°，

∵，

∴∠AOM=45°，

連接CO，則有CO⊥AB，如圖，

∴∠COM=45°，∠BCO=45°，CO=AB

∵為的中點，

∴

∴AO=CO

在△AOM和△CON中

∴△AOM≌△CON

∴OM=ON，∠NOC=∠MOA=45°，

∴∠NOC+∠COM=45°+45°=90°，即

∴，

（2）成立，

證明：連接

，

，是中點

，(三線合一)

又

，

（3）

連接CO，如圖所示：

同（2）得：△OCF≌△OBN，∠OCM=∠OBN=135°

∴S△OMN=S五邊形OBNMC，

=S△CMN+S△OCB，

=S△CMN+S△ABC，

∴．