Question

【題目】如圖，AB是⊙O的弦，過AB的中點E作EC⊥OA于C，過點B作⊙O的切線BD交CE的延長線于點D．

（1）求證：DB=DE；

（2）連接AD，若AB=24，DB=10，求四邊形OADB的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）四邊形OADB的面積為

【解析】

（1）欲證明DB=DE，只要證明∠DEB=∠DBE；

（2）作DF⊥AB于F，連接OE．只要證明∠AOE=∠DEF，可得sin∠DEF=sin∠AOE=由此求出AO的長，由勾股定理可求OE的長即可解決問題．

證明：（1）∵AO=OB，

∴∠OAB=∠OBA，

∵BD是切線，

∴OB⊥BD，

∴∠OBD=90°，

∴∠OBE+∠EBD=90°，

∵EC⊥OA，

∴∠CAE+∠CEA=90°，

∵∠CEA=∠DEB，

∴∠EBD=∠BED，

∴DB=DE．

（2）作DF⊥AB于F，連接OE．

∵DB=DE，AE=EB=12，

∴EF=BE=6，OE⊥AB，

在Rt△EDF中，DE=BD=10，EF=6，

∴DF=

∵∠AOE+∠OAB=90°，∠DEF+∠OAB=90°，

∴∠AOE=∠DEF，

∴sin∠DEF=sin∠AOE=

∵AE=12， ∴AO=15

∴OE=

∴四邊形OADB的面積=