Question

【題目】如圖，Rt△ABC 中，∠BAC=90°，CE 平分∠ACB，點 D 在 CE的延長線上，連接 BD，過B作BF⊥BC交 CD 于點 F，連接 AF，若CF=2BD ，DE：CE=5：8 ， BF ，則AF的長為_________．

Answer 1

【答案】

【解析】

取CF的中點為M連接BM，可證得與均為等腰三角形，設，通過角的計算可證得與均為等腰三角形，由，設，過B作于N，過A作于G，根據相似三角形的性質結合勾股定理可求得的值以及AG、FG的值，利用勾股定理即可求解．

取CF的中點為M連接BM，

∵BF⊥BC，

∴∠FBC=90，

∴CM=FM=BM==BD，

∴與均為等腰三角形，

，

設，則，，

，

，

∴可得與均為等腰三角形，

∵，

設，則，，，

∴，

過B作于N，過A作于G，

得，，

∵∠FBN+∠BFN=90，∠FCB+∠BFN=90，

∴∠FBN=∠FCB，

∴△RtFBNRt△BCN，

∴，

∴,

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，，，，

∵∠BEN=∠CEA，

∴Rt△BENRt△CEA，

∴，即，

∴,

∵∠BEN=∠AEG，

∴Rt△BENRt△AEG，

∴，即，

∴，，

∴，

在Rt△AFG中，

．