Question

【題目】如圖，兩個30°的角BAC與角MON，頂點A在射線ON上某處，現保持角MON不動，將角BAC繞點A以每秒15°的速度順時針旋轉，邊AB、AC分別與邊OM交于點P、Q，當AC∥OM時，交點Q消失旋轉結束。設運動時間為t秒（t>0）.

（1）當t=2秒時，OP:PQ= ；

（2）在運動的過程中，△APQ能否成為等腰三角形？若能，請利用備用圖，直接寫出此時的運動時間；

（3）在（2）中判斷△OAQ的形狀，并選擇其中的一個說明理由.

Answer 1

【答案】（1）2:1；

（2）當t=3s或6s時，△APQ為等腰三角形；

（3）△OAQ為等腰三角形，理由見解析.

【解析】

（1）當t=2秒時，∠PAO=30°，∠PQA=90°,根據等角對等邊定理和30度角所對直角邊等于斜邊的一半可得出結論；

（2）先求出t的取值范圍，然后分三種情況討論，當△APQ為等腰三角形時∠PAO的大小，并進而得到t的值；

（3）由（2）得到t的值，代入求得△OAQ的內角度數，從而判斷△OAQ的形狀。

解：（1）如圖1，

當t=2秒時，∠PAO=30°，

∵∠MON=∠BAC=30°

∴∠PAO=∠MON, ∠PQA=90°,

∴OP=AP,PQ=AP，

∴OP:PQ= 2:1；

故答案為：2:1；

（2）當AC∥OM時，∠NAC=∠O=，

∴∠OAB=

∴t=

∴0＜t＜8，

分三種情況： AP=AQ 、AP=PQ和QP=QA，

①當AP=AQ時，

∠APQ=∠AQP=

∴∠PAO=∠APQ-∠O=

∴t=；

②當AP=PQ時，

∠APQ=

∴∠PAO=∠APQ-∠O=

∴t=；

③當QP=QA時，

∠APQ=∠PAQ=

∴∠PAO=∠APQ-∠O=

即t=0s(舍去)

綜上所述，當t=3s或6s時，△APQ為等腰三角形；

（3）當t=3s或6s時，△OAQ為等腰三角形,

理由是：

當t=3s時，∠OAP=45°，∠PAQ=30°，

∴∠OAQ=75°，

又∠AQP=75°，

∴OA=OQ,即△APQ為等腰三角形.

當t=6s時，∠OAP=90°，∠PAQ=30°，

∴∠OAQ=120°，

又∠AOQ=30°，

∴∠OQA=30°

∴OA=AQ,即△APQ為等腰三角形.