Question

已知直線y=-x+2m+1與雙曲線y=

m2+1

x

有兩個不同的公共點A、B．
（1）求m的取值范圍；
（2）點A、B能否關于原點中心對稱？若能，求出此時m的值；若不能，說明理由．

Answer 1

分析：（1）直線y=-x+2m+1與雙曲線y=

m2+1

x

有兩個不同的公共點A、B，這兩個公共點的橫坐標就是方程-x+2m+1=

m2+1

x

的兩個不同的解，根據判別式可求m的取值范圍；
（2）用反證法：假設能，根據對稱特點，易求m值，與m的取值范圍比較，即可判定．

解答：解：（1）∵直線y=-x+2m+1與雙曲線y=

m2+1

x

有兩個不同的公共點A、B，
∴

y=-x+2m+1 y= m2+1 x

，
∴-x+2m+1=

m2+1

x

，
∴根據根的判別式可知：m＞

3

4

；

（2）解法一：若A，B關于原點中心對稱，則它們的縱橫坐標互為相反數，
所以方程（1）的兩根互為相反數，
得2m+1=0，解得：m=-

1

2

，與m＞

3

4

矛盾，
∴A，B不可能關于原點中心對稱．
解法二：若A、B兩點關于原點中心對稱，
則直線y=-x+2m+1過坐標原點，2m+1=0，m=-

1

2

，
此時直線為y=-x，所以A、B分別在第二、四象限，
由y=

m2+1

x

知，A、B應在第一、三象限，矛盾，
故A、B不能關于原點中心對稱．

點評：此題難度中等，考查反比例函數一次函數的圖象和性質及一元二次方程根與系數關系．