Question

如圖，一次函數y=-x+b與反比例函數的圖象相交于A（-1,4）、B（4，-1）兩點，直線l⊥x軸于點E（-4,0），與反比例函數和一次函數的圖象分別相交于點C、D，連接AC、BC

（1）、求出b和k；
（2）、求證：△ACD是等腰直角三角形；
（3）、在y軸上是否存在點P，使，若存在，請求出P的坐標，若不存在，請說明理由。

Answer 1

（1）3，-4；（2）證明見解析；（3）存在，P₁（0，），P₂（0，-）.

試題分析：（1）將已知點的坐標代入到兩個函數的解析式即可求得k和b的值；
（2））根據直線x=-4與一次函數y=-x+3交于點D，求得點D（-4，7），根據直線x=-4與反比例函數y=- 交于點C確定點C（-4，1），從而確定AD=AC，然后根據勾股定理的逆定理確定△ACD是直角三角形，從而確定△ACD是等腰直角三角形；
（3）過點A作AP₁∥BC，交y軸于P₁，則S_△PBC=S_△ABC，根據B（4，-1），C（-4，1）確定直線BC的解析式為y=-x，然后設直線AP₁的解析式為y=-x+b₁，把A（-1，4）代入可求b₁=，求得P₁（0， ），作P₁關于x軸的對稱點P₂，利用S_△P1BC＝S_△P2BCBC=S_△ABC，確定P₂（0，- ）；
試題解析：（1）解：∵一次函數y=-x+b的圖象經過點A（-1，4）
∴-（-1）+b=4，
即b=3，
又∵反比例函數（k≠0）的圖象經過點A（-1，4）
∴k=xy=（-1）×4=-4；
（2）證明：∵直線l⊥x軸于點E（-4，0）則直線l解析式為x=-4，
∴直線x=-4與一次函數y=-x+3交于點D，則D（-4，7）
直線x=-4與反比例函數y=-交于點C，
則C（-4，1）
過點A作AF⊥直線l于點F，
∵A（-1，4），C（-4，1），D（-4，7）
∴CD=6，AF=3，DF=3，FC=3
又∵∠AFD=∠AFC=90°，
由勾股定理得：AC=AD=3 
又∵AD²+AC²=(3)²+(3)²=36
CD²=6²=36
∴AD²+AC²=CD²
∴由勾股定理逆定理得：△ACD是直角三角形，
又∵AD=AC
∴△ACD是等腰直角三角形；
（3）解：過點A作AP₁∥BC，交y軸于P₁，則S_△PBC=S_△ABC
∵B（4，-1），C（-4，1）
∴直線BC的解析式為y=-x
∵設直線AP₁的解析式為y=-x+b₁，把A（-1，4）代入可求b₁=，
∴P₁（0，），
∴作P₁關于x軸的對稱點P₂，則S_△P1BC＝S_△P2BCBC=S_△ABC，
故P₂（0，-）；即存在P₁（0，），P₂（0，-）.
考點: 反比例函數綜合題