Question

如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=ax²+bx+c的圖象的頂點為D點，與y軸交于C點，與x軸交于A、B兩點，A點在原點的左側，B點的坐標為（3，0），OB=OC，tan∠ACO=

1

3

．
（1）求這個二次函數的表達式；
（2）若平行于x軸的直線與該拋物線交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓與x軸相切，求該圓半徑的長度；
（3）如圖，若點G（2，y）是該拋物線上一點，點P是直線AG下方的拋物線上一動點，當點P運動到什么位置時，點P到直線AG的距離最大？求出此時P點的坐標和點P到直線AG的最大距離．

Answer 1

分析：（1）根據已知條件，易求得C、A的坐標，可用待定系數法求出拋物線的解析式；
（2）根據拋物線和圓的對稱性，知圓心必在拋物線的對稱軸上，由于該圓與x軸相切，可用圓的半徑表示出M、N的坐標，將其入拋物線的解析式中，即可求出圓的半徑；（需注意的是圓心可能在x軸上方，也可能在x軸下方，需要分類討論）
（3）易求得AC的長，由于AC長為定值，當P到直線AG的距離最大時，△APG的面積最大．可過P作y軸的平行線，交AG于Q；設出P點坐標，根據直線AG的解析式可求出Q點坐標，也就求出PQ的長，進而可得出關于△APG的面積與P點坐標的函數關系式，根據函數的性質可求出△APG的最大面積及P點的坐標，根據此時△APG的面積和AG的長，即可求出P到直線AC的最大距離．

解答：解：（1）方法一：由已知得：C（0，-3），A（-1，0）
將A、B、C三點的坐標代入得

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=-3

解得：

a=1 b=-2 c=-3

所以這個二次函數的表達式為：y=x²-2x-3
方法二：由已知得：C（0，-3），A（-1，0）
設該表達式為：y=a（x+1）（x-3）
將C點的坐標代入得：a=1
所以這個二次函數的表達式為：y=x²-2x-3；
（注：表達式的最終結果用三種形式中的任一種都不扣分）

（2）如圖，
①當直線MN在x軸上方時，設圓的半徑為R（R＞0），則N（R+1，R），
代入拋物線的表達式，解得R=

1+ 17

2

；
②當直線MN在x軸下方時，設圓的半徑為r（r＞0），則N（r+1，-r），
代入拋物線的表達式，解得r=

-1+ 17

2

，
∴圓的半徑為

1+ 17

2

或

-1+ 17

2

；

（3）過點P作y軸的平行線與AG交于點Q，
易得G（2，-3），直線AG為y=-x-1；
設P（x，x²-2x-3），則Q（x，-x-1），PQ=-x²+x+2；
S△APG=S△APQ+S△GPQ=

1

2

(-x2+x+2)×3=-

3

2

(x-

1

2

)2+

27

8

當x=

1

2

時，△APG的面積最大為

27

8

；
∵AG=3

2

，P到AG的最大距離為

2S△APG

AG

=

2× 27 8

3 2

=

9

8

2

，
此時P點的坐標為(

1

2

，-

15

4

)．

點評：此題考查了二次函數解析式的確定、切線的性質、圖形面積的求法等知識，綜合性強，能力要求較高．考查學生數形結合的數學思想方法．