Question

【題目】如圖1，在菱形中，，，點是上一點，點在上，且，設．

（1）當時，如圖2，求的長；

（2）設，求關于的函數關系式及其定義域；

（3）若是以為腰的等腰三角形，求的長．

Answer 1

【答案】（1）=（2）y=x-8（≤x≤）（3）4

【解析】

（1）先根據菱形的邊長和對角線的長得到∠ABO =30°，再根據，求出AP的長，故可得到DP的長；

（2）作HP⊥AB，根據AP=PQ，得到AH=QH=，BH=8-,BP=BD-DP=-x,再根據（1）可得HP=-x，在Rt△BPH中，BP2=HB2+HP2，化簡即可求解，再求出x的取值范圍；

（3）根據題意作圖，由等腰三角形的性質可得△AQP是等邊三角形，故可得到DP的長．

（1）∵，，

∴BO==4,AC⊥BD

故AO==4=

∴∠ABO =30°=∠ADO

∵

∴∠APB =90°-∠ABO =60°

故∠PAD=∠APB -∠ADO =30°

即∠PAD=∠ADO

∴DP=AP

設AP=x，則BP=2x，

在Rt△ABP中，BP2=AB2+AP2

即（2x）2=82+x2

解得x=

故=；

（2）作HP⊥AB，∵AP=PQ

∴AH=QH=

∴BH=BQ+QH=(8-y)+=8-,

BP=BD-DP=-x,

由（1）可得HP==-x

在Rt△BPH中，BP2=HB2+HP2

即（-x）2=(8-)2+(-x)2

∵-x＞0，8-＞0，-x＞0

∴化簡得y=x-8

∵0≤x-8≤8

∴x的取值范圍為≤x≤

∴關于的函數關系式是y=x-8（≤x≤）；

（3）如圖，若是以為腰的等腰三角形，

則∠QPB=∠QBP=30°，

∴∠AQP=∠QPB+∠QBP=60°

∵∠BAP=90°-∠QBP=60°，

∴△APQ是等邊三角形，∠APQ=60°

∴∠QPB +∠APQ=90°，

則AP⊥BP，故O點與P點重合，

∴PD=DO==4．