Question

【題目】如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD. ∠B+∠ADC=180°，點E，F分別在四邊形ABCD的邊BC，CD上，∠EAF=∠BAD，連接EF，試猜想EF，BE，DF之間的數量關系.

圖1 圖2 圖3

(1)思路梳理

將△ABE繞點A逆時針旋轉至△ADG，使AB與AD重合.由∠B+∠ADC=180°，得∠FDG=180°，即點F，D，G三點共線. 易證△AFG ，故EF，BE，DF之間的數量關系為 ；

(2)類比引申

如圖2，在圖1的條件下，若點E，F由原來的位置分別變到四邊形ABCD的邊CB，DC的延長線上，∠EAF=∠BAD，連接EF，試猜想EF，BE，DF之間的數量關系，并給出證明.

(3)聯想拓展

如圖3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D，E均在邊BC上，且∠DAE=45°. 若BD=1，EC=2，則DE的長為 .

Answer 1

【答案】（1）△AFE. EF=BE+DF.（2）BF=DF-BE，理由見解析；（3）

【解析】試題分析：（1）先根據旋轉得： 計算 即點共線，再根據SAS證明△AFE≌△AFG，得EF=FG，可得結論EF=DF+DG=DF+AE；
（2）如圖2，同理作輔助線：把△ABE繞點A逆時針旋轉至△ADG，證明△EAF≌△GAF，得EF=FG，所以EF=DFDG=DFBE;
（3）如圖3，同理作輔助線：把△ABD繞點A逆時針旋轉至△ACG，證明△AED≌△AEG，得，先由勾股定理求的長，從而得結論．

試題解析：(1)思路梳理：

如圖1,把△ABE繞點A逆時針旋轉至△ADG，可使AB與AD重合，即AB=AD，

由旋轉得：∠ADG=∠A=，BE=DG，∠DAG=∠BAE，AE=AG，

∴∠FDG=∠ADF+∠ADG=+=，

即點F. D.G共線，

∵四邊形ABCD為矩形，

∴∠BAD=，

∵∠EAF=，

∴

∴

∴

在△AFE和△AFG中，

∵

∴△AFE≌△AFG(SAS)，

∴EF=FG，

∴EF=DF+DG=DF+AE

故答案為：△AFE，EF=DF+AE；

(2)類比引申：

如圖2，EF=DFBE，理由是：

把△ABE繞點A逆時針旋轉至△ADG，可使AB與AD重合，則G在DC上，

由旋轉得：BE=DG，∠DAG=∠BAE，AE=AG，

∵∠BAD=，

∴∠BAE+∠BAG=，

∵∠EAF=，

∴∠FAG==，

∴∠EAF=∠FAG=，

在△EAF和△GAF中，

∵

∴△EAF≌△GAF(SAS)，

∴EF=FG，

∴EF=DFDG=DFBE;

(3)聯想拓展：

如圖3,把△ABD繞點A逆時針旋轉至△ACG，可使AB與AC重合，連接EG，

由旋轉得：AD=AG，∠BAD=∠CAG，BD=CG，

∵∠BAC=，AB=AC，

∴∠B=∠ACB=，

∴∠ACG=∠B=，

∴∠BCG=∠ACB+∠ACG=+=，

∵EC=2，CG=BD=1，

由勾股定理得：

∵∠BAD=∠CAG,∠BAC=，

∴∠DAG=，

∵∠BAD+∠EAC=，

∴∠CAG+∠EAC==∠EAG，

∴∠DAE=，

∴∠DAE=∠EAG=，

∵AE=AE，

∴△AED≌△AEG，

∴