Question

如圖，在平面直角坐標系xoy中，已知直線l₁:y=x與直線l₂：y=－x+6相交于點M，直線l₂與x軸相較于點N.

求M，N的坐標；

在矩形ABCD中，已知AB=1，BC=2，邊AB在x軸上，矩形ABCD沿x軸自左向右以每秒1個

單位長度的速度移動.設矩形ABCD與△OMN的重疊部分的面積為S.移動的時間為t（從點B與點O重合時開始計時，到點A與點N重合時計時結束）。直接寫出S與自變量t之間的函數關系式（不需要給出解答過程）；

在（2）的條件下，當t為何值時，S的值最大？并求出最大值.

 

 

 

Answer 1

【答案】

解：（1）解得。∴M的坐標為（4，2）。

                 在y=－x+6中令y=0得x=6，∴N的坐標為（6，0）。

            （2）S與自變量t之間的函數關系式為：

 

            （3）當0≤t≤1時，S的最大值為，此時t=1。

                 當1＜t≤4時，S的最大值為，此時t=4。

                 當4＜t≤5時，∵，

∴S的最大值為，此時t=。

                 當5＜t≤6時，S隨t的增大而減小，最大值不超過。

                 當6＜t≤7時，S隨t的增大而減小，最大值不超過。

                 綜上所述，當t=時，S的值最大，最大值為。

【解析】一次函數綜合題，平移問題，直線上點的坐標與方程的關系，一次函數和二次函數的最值。

【分析】（1）聯立兩直線方程即可求得M的坐標，在y=－x+6中令y=0即可求得N的坐標。

（2）先求各關鍵位置，自變量t的情況：

起始位置時，t=0；當點A與點O重合時，如圖1，t=1；當點C與點M重合時，如圖2，t=4；當點D與點M重合時，如圖3，t=5；當點B與點N重合時，如圖4，t=6；結束位置時，點A與點N重合，t=7。

 

 

①當0≤t≤1時，矩形ABCD與△OMN的重疊部分的面積為一三角形面積（不含t=0），三角形的底為t，高為，∴。

②當1＜t≤4時，矩形ABCD與△OMN的重疊部分的面積為一梯形面積，梯形的上底為，下底為，高為1。∴。

③當4＜t≤5時，矩形ABCD與△OMN的重疊部分的面積為兩梯形面積的和，第一個梯形的上底為，下底為2，高為；第二個梯形的上底為－t +6，下底為2，高為。

∴。

④當5＜t≤6時，矩形ABCD與△OMN的重疊部分的面積為一梯形面積，梯形的上底為

6－t ，下底為7－t，高為1。∴。

⑤當6＜t≤7時，矩形ABCD與△OMN的重疊部分的面積為一三角形面積（不含t=7），三角形的底為7－t，高為7－t，∴。

（3）分別討論各分段函數的最大值而得所求。