Question

【題目】已知，ACB和DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90，連接AE、BD交于點O. AE與DC交于點M，BD與AC交于點N.

（1）如圖①，求證：AE=BD；

（2）如圖②，若AC=DC，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖②中四對全等的直角三角形.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析（2）△ACB≌△DCE；△AON≌△DOM；△AOB≌△DOE；△NCB≌△MCE

【解析】試題分析：（1）根據全等三角形的性質即可求證△ACE≌△BCD，從而可知AE=BD；

（2）根據條件即可判斷圖中的全等直角三角形；

試題解析：解：（1）∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴AC=BC，DC=EC，∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，∴∠BCD=∠ACE，在△ACE與△BCD中，∵AC=BC，∠ACE=∠BCD，CE=CD，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE=BD；

（2）∵AC=DC，∴AC=CD=EC=CB，△ACB≌△DCE（SAS）；

由（1）可知：∠AEC=∠BDC，∠EAC=∠DBC，∴∠DOM=90°，∵∠AEC=∠CAE=∠CBD，∴△EMC≌△BCN（ASA），∴CM=CN，∴DM=AN，△AON≌△DOM（AAS），∵DE=AB，AO=DO，∴△AOB≌△DOE（HL）．