Question

【題目】如果把一個自然數各數位上的數字從最高位到個位依次排出的一個數，與從個位到最高位依次排出的一個數完全相同，那么我們把這樣的自然數稱為“和諧數”，例如，，，都是“和諧數”．請你解答以下問題：

（）設一個四位“和諧數”個位上的數字，十位上的數字為，請你用含有、的代數式表示出這個四位數．

（）請說明任意一個四位“和諧數”都能被整除．

Answer 1

【答案】(1) 1000x+100y+10y+x；（2）證明見解析.

【解析】

（1）根據“和諧數”的定義，結合四位數的表示法寫出即可；

（2）根據“和諧數”的定義（把一個自然數各數位上的數字從最高位到個位依次排出的一串數字，與從個位到最高位依次排出的一串數字完全相同）寫出四個“和諧數”，設任意四位“和諧數”形式為：，根據和諧數的定義得到a=d，b=c，則=91a+10b為正整數，易證得任意四位“和諧數”都可以被11整除；

（1）設一個四位“和諧數”個位上的數字x，十位上的數字為y，根據“和諧數”的定義得，

這個和諧數為：1000x+100y+10y+x.

（2）任意一個四位“和諧數”都能被11整除，理由如下：

設任意四位“和諧數”形式為：，則滿足：

最高位到個位排列：a，b，c，d．

個位到最高位排列：d，c，b，a．

由題意，可得兩組數據相同，則：a=d，b=c，

則 =91a+10b為正整數．

∴四位“和諧數”能被11整數，

又∵a，b，c，d為任意自然數，

∴任意四位“和諧數”都可以被11整除；