Question

【題目】二次函數y=x2-2mx+3（m＞）的圖象與x軸交于點A（a，0）和點B（a+n，0）（n＞0且n為整數），與y軸交于C點．

（1）若a=1，①求二次函數關系式；②求△ABC的面積；

（2）求證：a=m-；

（3）線段AB（包括A、B）上有且只有三個點的橫坐標是整數，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）y=x2-4x+3；3；（2）證明見解析；（3）a=1或a=．

【解析】

試題（1）①首先根據a=1求得A的坐標，然后代入二次函數的解析式，求得m的值即可確定二次函數的解析式；

②根據解析式確定拋物線與坐標軸的交點坐標，從而確定三角形的面積；

（2）將原二次函數配方后即可確定其對稱軸為x=m，然后根據A、B兩點關于x=m對稱得到a+n-m=m-a，從而確定a、m、n之間的關系；

（3）根據a=m-得到A（m-，0）代入y=（x-m）2-m2+3得0=（m--m）2-m2+3，求得m的值即可確定a的值．

試題解析：（1）①∵a=1，

∴A（1，0），

代入y=x2-2mx+3得1-2m+3=0，解得m=2，

∴y=x2-4x+3；

②在y=x2-4x+3中，當y=0時，有x2-4x+3=0可得x=1或x=3，

∴A（1，0）、B（3，0），

∴AB=2再根據解析式求出C點坐標為（0，3），

∴OC=3，

△ABC的面積=×2×3=3；

（2）∵y=x2-2mx+3=（x-m）2-m2+3，

∴對稱軸為直線x=m，

∵二次函數y=x2-2mx+3的圖象與x軸交于點A和點B

∴點A和點B關于直線x=m對稱，

∴a+n-m=m-a，

∴a=m-；

（3）y=x2-2mx+3（m＞）化為頂點式為y=（x-m）2-m2+3（m＞）

①當a為整數，因為n＞0且n為整數 所以a+n是整數，

∵線段AB（包括A、B）上有且只有三個點的橫坐標是整數，

∴n=2，

∴a=m-1，

∴A（m-1，0）代入y=（x-m）2-m2+3得（x-m）2-m2+3=0，

∴m2-4=0，

∴m=2，m=-2（舍去），

∴a=2-1=1，

②當a不是整數，因為n＞0且n為整數 所以a+n不是整數，

∵線段AB（包括A、B）上有且只有三個點的橫坐標是整數，

∴n=3，

∴a=m-

∴A（m-，0）代入y=（x-m）2-m2+3得0=（m--m）2-m2+3，

∴m2=，

∴m=，m=-（舍去），

∴a=，

綜上所述：a=1或a=．