Question

【題目】在矩形ABCD中，M為AD邊上一點，MB平分∠AMC．

（1）如圖1，求證：BC＝MC；

（2）如圖2，G為BM的中點，連接AG、DG，過點M作MN∥AB交DG于點E、交BC于點N．

①求證：AG⊥DG；

②當DGGE＝13時，求BM的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②2．

【解析】

（1）根據平行線的性質得到∠AMB＝∠MBC，根據角平分線的定義得到∠AMB＝∠BMC，根據等腰三角形的判定定理證明；

（2）①連接GC，根據等腰三角形的三線合一得到∠BGC＝90°，證明△AGD≌△BGC，根據全等三角形的性質證明；

②證明△MGE∽△DGM，根據相似三角形的性質計算即可．

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠AMB＝∠MBC，

∵MB平分∠AMC，

∴∠AMB＝∠BMC，

∴∠BMC＝∠MBC，

∴BC＝MC；

（2）①證明：連接GC，

∵CM＝CB，G為BM的中點，

∴∠BGC＝90°，

∵∠BAM＝90°，G為BM的中點，

∴GA＝GB＝GM，

∴∠GAB＝∠GBA，

∴∠GAD＝∠GBC，

在△AGD和△BGC中，

，

∴△AGD≌△BGC（SAS），

∴∠AGD＝∠BGC＝90°，即AG⊥DG；

②解：∵MN∥AB，

∴∠MNB＝90°，又∵∠BGC＝90°，

∴∠BMN＝∠BCG，

∵△AGD≌△BGC，

∴∠GDM＝∠BCG，

∴∠BMN＝∠GDM，又∠MGE＝∠DGM，

∴△MGE∽△DGM，

∴，

∴MG2＝DGGE＝13，

∴MG＝，

∴BM＝2．