Question

【題目】如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，AC是直徑，∠A＝30°，BC＝2，點D是AB的中點，連接DO并延長交⊙O于點P，過點P作PF⊥AC于點F．

（1）求劣弧PC的長；（結果保留π）

（2）求陰影部分的面積．（結果保留π）．

Answer 1

【答案】（1）劣弧PC的長為π；（2）S陰影＝π﹣．

【解析】

（1）根據垂徑定理得PD⊥AB，進而根據含30°角的直角三角形的性質可得OF＝OP，從而求得半徑為r，再利用弧長公式求解即可．

（2）根據勾股定理求得PF的長度，再根據三角形面積公式和扇形面積公式求解即可．

（1）∵點D是AB的中點，PD經過圓心，

∴PD⊥AB，

∵∠A＝30°，

∴∠POC＝∠AOD＝60°，OA＝2OD，

∵PF⊥AC，

∴∠OPF＝30°，

∴OF＝OP，

∵OA＝OC，AD＝BD，

∴BC＝2OD，

∴OA＝BC＝2，

∴⊙O的半徑為2，

∴劣弧PC的長＝＝＝π；

（2）∵OF＝OP，

∴OF＝1，

∴PF＝＝，

∴S陰影＝S扇形﹣S△OPF＝﹣×1×＝π﹣．