Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A（﹣ ， 0），點(diǎn)B（2，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，1），連接BC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）N為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N作NP⊥x軸于點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為t（﹣），求△ABN的面積s與t的函數(shù)解析式；
（3）若0＜t＜2且t≠0時(shí)，△OPN∽△COB，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，由題意可得：，
解得：．
∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=﹣x2+x+1；
（2）當(dāng)﹣＜t＜2時(shí)，yN＞0，
∴NP=|yN|=yN=﹣t2+t+1，
∴S=ABPN
=×（2+）×（﹣t2+t+1）
=（﹣t2+t+1）
=﹣t2+t+；
（3）∵△OPN∽△COB，
∴=，
∴=，
∴PN=2PO．
當(dāng)0＜t＜2時(shí)，PN=|yN|=yN=﹣t2+t+1，PO=|t|=t，
∴﹣t2+t+1=2t，
整理得：3t2﹣t﹣2=0，
解得：t3=﹣，t4=1．
∵﹣＜0，0＜1＜2，
∴t=1，此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（1，2）．
故點(diǎn)N的坐標(biāo)為（1，2）．
【解析】（1）可設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，然后只需運(yùn)用待定系數(shù)法就可解決問(wèn)題；
（2）當(dāng)﹣＜t＜2時(shí)，點(diǎn)N在x軸的上方，則NP等于點(diǎn)N的縱坐標(biāo)，只需求出AB，就可得到S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得PN=2PO．由于PO=|t|，根據(jù)0＜t＜2，由PN=2PO得到關(guān)于t的方程，解這個(gè)方程，就可解決問(wèn)題．