Question

【題目】如圖，在⊙O中，直徑AB垂直弦CD于E，過點A作∠DAF＝∠DAB，過點D作AF的垂線，垂足為F，交AB的延長線于點P，連接CO并延長交⊙O于點G，連接EG，已知DE＝4，AE＝8．

（1）求證：DF是⊙O的切線；

（2）求證：OC2＝OEOP；

（3）求線段EG的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）

【解析】

（1）連接OD，由等腰三角形的性質得出∠DAB＝∠ADO，再由已知條件得出∠ADO＝∠DAF，證出OD∥AF，由已知DF⊥AF，得出DF⊥OD，即可得出結論；

（2）證明△ODE∽△OPD，得出OD2＝OEOP，由OC＝OD，即可得出OC2＝OEOP；

（3）連接DG，由垂徑定理得出DE＝CE＝4，得出CD＝8，由勾股定理求出DG，再由勾股定理求出EG即可．

（1）證明：連接OD，如圖1所示：

∵OA＝OD，

∴∠DAB＝∠ADO，

∵∠DAF＝∠DAB，

∴∠ADO＝∠DAF，

∴OD∥AF，

又∵DF⊥AF，

∴DF⊥OD，

∴DF是⊙O的切線；

（2）證明：由（1）得：PF⊥OD，

∴∠ODP＝90°，

∵AB⊥CD，

∴∠OED=90°

∴∠ODP=∠OED

又∠DOE=∠POD

∴△ODE∽△OPD，

∴，即OD2＝OEOP，

∵OC＝OD，

∴OC2＝OEOP；

（3）連接DG，如圖2所示：

∵AB⊥CD，

∴DE＝CE＝4，

∴CD＝DE+CE＝8，

設OD＝OA＝x，則OE＝8﹣x，

在Rt△ODE中，由勾股定理得：OE2+DE2＝OD2，

即（8﹣x）2+42＝x2，

解得：x＝5，

∴CG＝2OA＝10，

∵CG是⊙O的直徑，

∴∠CDG＝90°，

∴DG＝＝＝6，

∴EG＝＝＝2．