Question

【題目】如圖，直線分別與軸，軸交于點，，過點的直線交軸于點.為的中點，為射線上一動點，連結，，過作于點．

（1）直接寫出點，的坐標：（______，______），（______，______）；

（2）當為中點時，求的長；

（3）當是以為腰的等腰三角形時，求點坐標；

（4）當點在線段（不與，重合）上運動時，作關于的對稱點，若落在軸上，則的長為_______．

Answer 1

【答案】（1）-2，0；2，0；（2）；（3）當或時，是以為腰的等腰三角形；（4）．

【解析】

（1）先根據求出A,B的坐標，再把B點坐標代入求出b值，即可求解C點坐標，再根據為的中點求出D點坐標；

（2）先求出P點坐標得到，再根據即可求解；

（3）根據題意分① ②，即可列方程求解；

（4）根據題意作圖，可得對稱點即為A點，故AD=PD=4,設，作PF⊥AC于F點，得DF=2-x,PF=-x+4，利用Rt△PFD列方程解出x,得到P點坐標，再根據坐標間的距離公式即可求解．

（1）由直線AB的解析式為，

令y=0,得x=-2，

∴，

令x=0,得y=4，∴B（0，4）

把B（0，4）代入，求得b=4，

∴直線BC的解析式為

令y=0,得x=4，∴

∵為的中點

∴

故答案為：-2，0；2，0；

（2）由（1）得B（0，4），

當為的中點時，則，

∵為的中點，

∴軸，

，，

∴

∵，

∴

（3）∵點是射線上一動點，設，當是以為腰的等腰三角形時，

①若，，解得：，（舍去），此時；

②若，，解得：，此時.

綜上，當或時，是以為腰的等腰三角形.

（4）∵關于的對稱點，若落在軸上

∴點為A點，

∴AD=PD=4,

設，作PF⊥AC于F點，

∴DF=2-x,PF=-x+4，

在Rt△PFD中，DF2+PF2=DP2

即（2-x）2+（-x+4）2=42

解得x=3-（3+舍去）

∴P（3-，+1），

∴==

故答案為：．