Question

【題目】如圖①，的頂點在正方形兩條對角線的交點處，，將繞點旋轉，旋轉過程中的兩邊分別與正方形的邊和交于點和點（點與點，不重合）．

（1）如圖①，當時，求，，之間滿足的數量關系，并證明；

（2）如圖②，將圖①中的正方形改為的菱形，其他條件不變，當時，（1）中的結論變為，請給出證明；

（3）在（2）的條件下，若旋轉過程中的邊與射線交于點，其他條件不變，探究在整個運動變化過程中，，，之間滿足的數量關系，直接寫出結論，不用加以證明．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）當點落在上時，當點落在的延長線上時DF-DE=AD，見解析.

【解析】

（1）利用正方形的性質得出角與線段的關系，易證得△APE≌△DPF，可得出AE=DF，即可得出結論DE+DF=AD，
（2）取AD的中點M，連接PM，利用菱形的性質，可得出△MDP是等邊三角形，易證△MPE≌△FPD，得出ME=DF，由DE+ME=AD，即可得出DE+DF=AD，
（3））①當點E落在AD上時，DE+DF=AD，②當點E落在AD的延長線上時，DF-DE=AD．

解：（1）∵正方形的對角線，交于點，，，，，．

∴，

∵，∴

∴，

∵

∴，

∴，

在和中，

∴，

∴，

∴，

（2）方法一：如圖②，取的中點，連接，

∵四邊形為菱形，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∵是的中點，

∴，

又∵，

∴

又∵，

∴是等邊三角形，

∴，

又∵，

∴，

∴，

在和中，

∴，

∴，

∴，

∵是的中點，

∴，

∴，

方法二：如圖②，取的中點，連接，

∵四邊形為菱形，

∴，

∴，，，,

∴，

∴在中，，

又∵是的中點，∴，

∴，，

∴是等邊三角形，

∴，，

∴，

在和中，

∴，

∴，

∴，

（3）

在整個運動變化過程中，

①當點落在上時，方法同上可得：，

②當點落在的延長線上時，取AD中點M，連接PM，

如圖③，

∵四邊形ABCD為菱形，∠ADC=120°，
∴AD=CD，∠DAP=30°，AC⊥BD，
∴∠ADP=∠CDP=60°，
∵AM=MD，
∴PM=MD，
∴△MDP是等邊三角形，
∴∠PME=∠MPD=60°，PM=PD，
∵∠QPN=60°，
∴∠MPE=∠FPD，
在△MPE和△DPF中，

∴△MPE≌△DPF（ASA）．
∴ME=DF，

∴DF-DE=AD．