Question

問題探索：
（1）已知一個正分數

n

m

（m＞n＞0），如果分子、分母同時增加1，分數的值是增大還是減小？請證明你的結論．
（2）若正分數

n

m

（m＞n＞0）中分子和分母同時增加2，3…k（整數k＞0），情況如何？
（3）請你用上面的結論解釋下面的問題：
建筑學規定：民用住宅窗戶面積必須小于地板面積，但按采光標準，窗戶面積與地板面積的比應不小于10%，并且這個比值越大，住宅的采光條件越好，問同時增加相等的窗戶面積和地板面積，住宅的采光條件是變好還是變壞？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）使用作差法，對兩個分式求差，有

n

m

-

n+1

m+1

=

n-m

m(m+1)

，由差的符號來判斷兩個分式的大小．
（2）由（1）的結論，將1換為k，易得答案，
（3）由（2）的結論，可得一個真分數，分子分母增大相同的數，則這個分數整體增大；結合實際情況判斷，可得結論．

解答：解：（1）

n

m

＜

n+1

m+1

（m＞n＞0）
證明：∵

n

m

-

n+1

m+1

=

n-m

m(m+1)

，
又∵m＞n＞0，
∴

n-m

m(m+1)

＜0，
∴

n

m

＜

n+1

m+1

．

（2）根據（1）的方法，將1換為k，有

n

m

＜

n+k

m+k

（m＞n＞0，k＞0）．

（3）設原來的地板面積和窗戶面積分別為x、y，增加面積為a，
由（2）的結論，可得一個真分數，分子分母增大相同的數，則這個分數整體增大；
則可得：

y+a

x+a

＞

y

x

，
所以住宅的采光條件變好了．

點評：本題考查分式的性質與運算，涉及分式比較大小的方法（做差法），并要求學生對得到的結論靈活運用．