Question

【題目】（11分）如圖，拋物線y=ax2+bx﹣3與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，且經過點（2，﹣3a），對稱軸是直線x=1，頂點是M．

（1）求拋物線對應的函數表達式；

（2）經過C，M兩點作直線與x軸交于點N，在拋物線上是否存在這樣的點P，使以點P，A，C，N為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）設直線y=﹣x+3與y軸的交點是D，在線段BD上任取一點E（不與B，D重合），經過A，B，E三點的圓交直線BC于點F，試判斷△AEF的形狀，并說明理由；

（4）當E是直線y=﹣x+3上任意一點時，（3）中的結論是否成立（請直接寫出結論）．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）存在，P（2，﹣3）；（3）△AEF是等腰直角三角形．理由見解析；（4）△AEF是等腰直角三角形．

【解析】試題分析：（1）依題意聯立方程組求出a，b的值后可求出函數表達式；

（2）分別令x=0，y=0求出A、B、C三點的坐標，然后易求直線CM的解析式．證明四邊形ANCP為平行四邊形可求出點P的坐標；

（3）求出直線y=-x+3與坐標軸的交點D，B的坐標．然后證明∠AFE=∠ABE=45°，AE=AF，可證得三角形AEF是等腰直角三角形；

（4）根據（3）中所求，即可得出當E是直線y=-x+3上任意一點時，（3）中的結論仍成立．

試題解析：(1)根據題意，得，

解得，

∴拋物線對應的函數表達式為y=x22x3；

(2)存在.連接AP，CP，

如下圖所示：

在y=x22x3中，令x=0，得y=3.

令y=0，得x22x3=0，

∴x1=1，x2=3.

∴A(1，0)，B(3，0)，C(0，3).

又y=(x1)24，

∴頂點M(1，4)，

容易求得直線CM的表達式是y=x3.

在y=x3中，令y=0，得x=3.

∴N(3，0)，

∴AN=2，

在y=x22x3中，令y=3，得x1=0，x2=2.

∴CP=2，

∴AN=CP.

∵AN∥CP，

∴四邊形ANCP為平行四邊形，此時P(2，3)；

(3)△AEF是等腰直角三角形.

理由：在y=x+3中，令x=0，得y=3，令y=0，得x=3.

∴直線y=x+3與坐標軸的交點是D(0，3)，B(3，0).

∴OD=OB，

∴∠OBD=45°，

又∵點C(0，3)，

∴OB=OC.

∴∠OBC=45°，

由圖知∠AEF=∠ABF=45°，∠AFE=∠ABE=45°，

∴∠EAF=90°，且AE=AF.

∴△AEF是等腰直角三角形；

(4)當點E是直線y=x+3上任意一點時，(3)中的結論：△AEF是等腰直角三角形成立.