Question

已知：在平面直角坐標系xOy中，一次函數y=kx-4k的圖象與x軸交于點A，拋物線y=ax²+bx+c（a＞0）經過O、A兩點．
（1）求點A的坐標，并用含a的代數式表示b；
（2）已知點C（1，5），點B是拋物線上一點，且四邊形OABC為平行四邊形，求此時拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，設點D是拋物線上且在直線OB下方的一個動點，當△OBD是等腰三角形時，符合條件的點D有幾個？請求出其中一個點D的坐標．

Answer 1

分析：（1）由于拋物線過原點，因此c=0，可用一次函數的解析式求出A點的坐標，然后將A的坐標代入拋物線的解析式中，即可求出a，b的關系式．
（2）由于四邊形OABC是平行四邊形，因此BC平行且相等于OA，OA=4，因此將C點的坐標向左平移4個單位就可得出B點的坐標，然后將B的坐標代入拋物線中即可得出二次函數的解析式．
（3）應該有兩個符合條件的D點．
①OD=BD，此時D為OB垂直平分線與拋物線的交點．②OB=BD．
可設出D點的坐標，然后用坐標系中兩點距離公式表示出OB，BD，OD的長，然后根據不同的情況可得出不同的關于D點坐標的方程，經過解方程即可求出D點的坐標．

解答：解：（1）一次函數y=kx-4k，
令y=0，則x=4，
∴A（4，0）．
∵拋物線y=ax²+bx+c（a＞0）經過O、A兩點，
∴

c=0 16a+4b+c=0

，
∴b=-4a．

（2）如圖1，
∵四邊形OABC是平行四邊形，
∴OA=BC=4．
∵C（1，5），
∴B（5，5）
∵點B在拋物線y=ax²-4ax上，
∴5=25a-20a，
∴a=1．
∴y=x²-4x．

（3）符合條件的點D有2個．
如圖2，作線段OB的中垂線，交拋物線于點D，
分別交OB、x軸于點E、F，
則OD=BD，點D為滿足條件的一個點．
設點D的坐標為（x，x²-4x）．
則OD²=x²+（x²-4x）²，
BD²=（5-x）²+（5-x²+4x）²
∴x²+（x²-4x）²=（5-x）²+（5-x²+4x）²，
解得x=

3± 29

2

（負值舍去）．
∴D（

3+ 29

2

，

7- 29

2

）．
本小題也可通過求出直線EF的解析式后，進一步求與拋物線交點D的坐標．

點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式、平行四邊形的判定和性質、等腰三角形的構成情況等知識點，綜合性強，考查學生分類討論，數形結合的數學思想方法．