Question

如圖，AB為⊙O直徑，C為圓上任一點，作弦CD⊥AB，垂足為H．連接OC．
（1）說明∠ACO=∠BCD成立的理由；
（2）作∠OCD的平分線CE交⊙O于E，連接OE（點D、E可以重合），求出點E在弧ADB的具體位置，并說明理由；
（3）在（2）的條件下，連接AE，判斷圓上是否存在點C，使△ACE為等腰三角形？若存在，請你寫出∠CAE的度數(shù)．（不用寫出推理過程）

Answer 1

解：（1）∵CD⊥直徑AB，
∴弧BD=弧BC（垂徑定理），
∴∠BCD=∠A，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴∠ACO=∠BCD；

（2）E為弧ADB的中點．
理由：∵CE平分∠OCD，
∴∠OCE=∠DCE，
∵OE=OC，
∴∠OEC=∠OCE，
∴∠OEC=∠DCE，
∴OE∥CD，
又∵CD⊥AB∴OE⊥AB，
∴E為弧ADB的中點；

（3）當C在優(yōu)弧ACE上，AC=CE時，∠CAE=67.5°，
當AC=AE時，∠CAE=90°，
當CE=AE時，∠CAE=45°，
當C在劣弧AE上，AC=CE時，∠CAE=22.5°．
分析：（1）由垂徑定理可知弧BD=弧BC，可得∠BCD=∠A，由半徑相等，得∠A=∠ACO，推出結(jié)論；
（2）E為弧ADB的中點． 由∠ACO=∠BCD及∠OCE=∠DCE，可得∠ACE=∠BCE，得=，可證E為弧ADB的中點；
（3）存在．當AC=CE時，∠AOE=90°，則∠ACE=45°，∠CAE=（180°-∠ACE），當AC=AE時，∠CAE=90°，當CE=AE時，∠CAE=45°．
點評：本題考查了垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理．關(guān)鍵是利用垂徑定理得出弧相等，圓周角相等．