Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A（10，0），以OA為直徑在第一象限內作半圓C，點B是該半圓周上一動點，連接OB、AB，并延長AB至點D，使DB=AB，過點D作x軸垂線，分別交x軸、直線OB于點E、F，點E為垂足，連接CF．
（1）當∠AOB=30°時，求弧AB的長度；
（2）當DE=8時，求線段EF的長；
（3）在點B運動過程中，是否存在以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似？若存在，請求出此時點E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接BC，由已知得∠ACB=2∠AOB=60°，AC=

1

2

AO=5，根據弧長公式求解；
（2）連接OD，由垂直平分線的性質得OD=OA=10，又DE=8，在Rt△ODE中，由勾股定理求OE，依題意證明△OEF∽△DEA，利用相似比求EF；
（3）存在．當以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似時，分為①當交點E在O，C之間時，由以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB，②當交點E在點C的右側時，要使△ECF與△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，③當交點E在點O的左側時，要使△ECF與△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，三種情況，分別求E點坐標．

解答：解：（1）連接BC，
∵A（10，0），∴OA=10，CA=5，
∵∠AOB=30°，
∴∠ACB=2∠AOB=60°，
∴弧AB的長=

60×π×5

180

=

5π

3

；（4分）

（2）①若D在第一象限，
連接OD，
∵OA是⊙C直徑，
∴∠OBA=90°，
又∵AB=BD，
∴OB是AD的垂直平分線，
∴OD=OA=10，
在Rt△ODE中，
OE=

OD2-DE2

=

102-82

=6，
∴AE=AO-OE=10-6=4，
由∠AOB=∠ADE=90°-∠OAB，∠OEF=∠DEA，
得△OEF∽△DEA，
∴

AE

DE

=

EF

OE

，即

4

8

=

EF

6

，
∴EF=3；（4分）
②若D在第二象限，
連接OD，
∵OA是⊙C直徑，
∴∠OBA=90°，
又∵AB=BD，
∴OB是AD的垂直平分線，
∴OD=OA=10，
在Rt△ODE中，
OE=

OD2-DE2

=

102-82

=6，
∴AE=AO+OE=10+6=16，
由∠AOB=∠ADE=90°-∠OAB，∠OEF=∠DEA，
得△OEF∽△DEA，
∴

AE

DE

=

EF

OE

，即

16

8

=

EF

6

，
∴EF=12；
∴EF=3或12；

（3）設OE=x，
①當交點E在O，C之間時，由以點E、C、F為頂點的三角
形與△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB，
當∠ECF=∠BOA時，此時△OCF為等腰三角形，點E為OC
中點，即OE=

5

2

，
∴E₁（

5

2

，0）；
當∠ECF=∠OAB時，有CE=5-x，AE=10-x，
∴CF∥AB，有CF=

1

2

AB，
∵△ECF∽△EAD，
∴

CE

AE

=

CF

AD

，即

5-x

10-x

=

1

4

，解得：x=

10

3

，
∴E₂（

10

3

，0）；

②當交點E在點C的右側時，
∵∠ECF＞∠BOA，
∴要使△ECF與△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，
連接BE，
∵BE為Rt△ADE斜邊上的中線，
∴BE=AB=BD，
∴∠BEA=∠BAO，
∴∠BEA=∠ECF，
∴CF∥BE，
∴

CF

BE

=

OC

OE

，
∵∠ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA=90°，
∴△CEF∽△AED，
∴

CF

AD

=

CE

AE

，
而AD=2BE，
∴

OC

2OE

=

CE

AE

，
即

5

2x

=

x-5

10-x

，解得x1=

5+5 17

4

，x2=

5-5 17

4

＜0（舍去），
∴E₃（

5+5 17

4

，0）；

③當交點E在點O的左側時，
∵∠BOA=∠EOF＞∠ECF．
∴要使△ECF與△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO
連接BE，得BE=

1

2

AD=AB，∠BEA=∠BAO
∴∠ECF=∠BEA，
∴CF∥BE，
∴

CF

BE

=

OC

OE

，
又∵∠ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA=90°，
∴△CEF∽△AED，
∴

CE

AE

=

CF

AD

，
而AD=2BE，
∴

OC

2OE

=

CE

AE

，
∴

5

2x

=

x+5

10+x

，
解得x₁=

-5+5 17

4

，x₂=

-5-5 17

4

（舍去），
∵點E在x軸負半軸上，
∴E₄（

5-5 17

4

，0），
綜上所述：存在以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似，
此時點E坐標為：E₁（

5

2

，0）、E₂（

10

3

，0）、E₃（

5+5 17

4

，0）、E₄（

5-5 17

4

，0）．（4分）

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，勾股定理的運用，圓周角定理，弧長公式的運用．關鍵是理解題意，根據基本條件，圖形的性質，分類求解．