Question

（2012•沈陽）已知，如圖①，∠MON=60°，點A，B為射線OM，ON上的動點（點A，B不與點O重合），且AB=4

3

，在∠MON的內部，△AOB的外部有一點P，且AP=BP，∠APB=120°．
（1）求AP的長；
（2）求證：點P在∠MON的平分線上．
（3）如圖②，點C，D，E，F分別是四邊形AOBP的邊AO，OB，BP，PA的中點，連接CD，DE，EF，FC，OP．
①當AB⊥OP時，請直接寫出四邊形CDEF的周長的值；
②若四邊形CDEF的周長用t表示，請直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）過點P作PQ⊥AB于點Q．根據等腰三角形的“三線合一”的性質推知AQ=BQ=

1

2

AB，然后在直角三角形中利用特殊角的三角函數的定義可以求得AP的長度；
（2）作輔助線PS、PT（過點P分別作PS⊥OM于點S，PT⊥ON于點T）構建全等三角形△APS≌△BPT；然后根據全等三角形的性質推知PS=PT；最后由角平分線的性質推知點P在∠MON的平分線上；
（3）利用三角形中位線定理知四邊形CDEF的周長的值是OP+AB．①當AB⊥OP時，根據直角三角形中銳角三角函數的定義可以求得OP的長度；②當AB⊥OP時，OP取最大值，即四邊形CDEF的周長取最大值；當點A或B與點O重合時，四邊形CDEF的周長取最小值．

解答：（1）解：過點P作PQ⊥AB于點Q．
∵PA=PB，∠APB=120°，AB=4

3

∴AQ=BQ=2

3

，∠APQ=60°（等腰三角形的“三線合一”的性質），
在Rt△APQ中，sin∠APQ=

AQ

AP

∴AP=

AQ

sin∠APQ

=

2 3

sin60°

=

2 3

3 2

=4；

（2）證明：過點P分別作PS⊥OM于點S，PT⊥ON于點T．
∴∠OSP=∠OTP=90°（垂直的定義）； 
在四邊形OSPT中，∠SPT=360°-∠OSP-∠SOB-∠OTP=360°-90°-60°-90°=120°，
∴∠APB=∠SPT=120°，∴∠APS=∠BPT；
又∵∠ASP=∠BTP=90°，AP=BP，
∴△APS≌△BPT，
∴PS=PT（全等三角形的對應邊相等）
∴點P在∠MON的平分線上；

（3）①∵OP平分∠AOB，∠AOB=60°，OP⊥AB，
∴AQ=BQ=

1

2

AB=2

3

，
∴OQ=

AQ

tan30°

=6，
同理：PQ=

AQ

tan60°

=2，
∴OP=8，
∵點C，D，E，F分別是四邊形AOBP的邊AO，OB，BP，PA的中點，
∴CD=EF=

1

2

AB，CF=DE=

1

2

OP，
∴四邊形CDEF的周長為：8+4

3

  
②CD和EF是△ABO和△ABP的中位線，
則CD=EF=

1

2

AB=2

3

，
CF和DE分別是△AOP和△BOP的中位線，則CF=DE=

1

2

OP，
當AB⊥OP時，OP為四點邊形AOBP外接圓的直徑時，OP最大，其值是8，OP一定大于當點A或B與點O重合時的長度是4．
則4+4

3

＜t≤8+4

3

．

點評：本題綜合考查了等腰三角形的性質、三角形中位線定理、解直角三角形以及全等三角形的判定與性質．解答該題時，利用了角平分線逆定理--到角兩邊的距離相等的點在角平分線角平分線上．