Question

（2013•重慶）如圖，在矩形ABCD中，E、F分別是邊AB、CD上的點，AE=CF，連接EF、BF，EF與對角線AC交于點O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC．
（1）求證：OE=OF；
（2）若BC=2

3

，求AB的長．

Answer 1

分析：（1）根據矩形的對邊平行可得AB∥CD，再根據兩直線平行，內錯角相等求出∠BAC=∠FCO，然后利用“角角邊”證明△AOE和△COF全等，再根據全等三角形的即可得證；
（2）連接OB，根據等腰三角形三線合一的性質可得BO⊥EF，再根據矩形的性質可得OA=OB，根據等邊對等角的性質可得∠BAC=∠ABO，再根據三角形的內角和定理列式求出∠ABO=30°，即∠BAC=30°，根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AC，再利用勾股定理列式計算即可求出AB．

解答：（1）證明：在矩形ABCD中，AB∥CD，
∴∠BAC=∠FCO，
在△AOE和△COF中，

∠BAC=∠FCO ∠AOE=∠COF AE=CF

，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF；

（2）解：如圖，連接OB，
∵BE=BF，OE=OF，
∴BO⊥EF，
∴在Rt△BEO中，∠BEF+∠ABO=90°，
根據矩形的性質，OA=OB=OC，
∴∠BAC=∠ABO，
又∵∠BEF=2∠BAC，
即2∠BAC+∠BAC=90°，
解得∠BAC=30°，
∵BC=2

3

，
∴AC=2BC=4

3

，
∴AB=

AC2-BC2

=

(4 3 )2-(2 3 )2

=6．

點評：本題考查了矩形的性質，全等三角形的判定與性質，等腰三角形三線合一的性質，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，綜合題，但難度不大，（2）作輔助線并求出∠BAC=30°是解題的關鍵．