Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交AB于N，交AC于點M

（1）若∠B=70。 ， 求∠NMA．
（2）連接MB，若AB=8cm，△MBC的周長是14cm，求BC的長．
（3）在(2)的條件，直線MN上是否存在點P，使由P，B，C構成的△PBC的周長值最小?若存在，標出點P的位置并求△PBC的周長最小值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AB=AC
∴∠B=∠C=70°
∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-2 × 70°=40°
∵MN垂直平分AB，
∴∠ANM=90°
∴∠NMA=90°-∠A=90°-40°=50°
（2）解：（2）如圖1，連接BM

∵AB=AC，AB=8cm
∴AC=8
∵MN垂直平分AB，
∴AM=BM
∵△MBC的周長是14cm
∴BM+CM+BC=14，
∴AM+CM+BC=14，
即AC+BC=14
∴BC=14-8=6
（3）存在；點P與點M重合；△PBC的周長最小值為14.
解：（3）如圖1，∵MN垂直平分AB，
∴點A、B關于直線MN對稱，AC與MN交于點M，因此點M與點P重合
∴PB+PC的值最小。
∴△PBC的周長最小值為14.
【解析】（1）根據等邊對等角求出∠C的度數，再根據三角形的內角和定理求出∠A的度數，再根據垂線的定義得出∠ANM=90°，然后根據∠NMA=90°-∠A，計算即可得出答案。
（2）根據相等垂直平分線的性質得出AM=BM，再根據△MBC的周長是14cm，證得AC+BC=14 ，即可得出答案。
（3）根據軸對稱的性質及兩點之間的最短，可得出點P與點M重合，因此△PBC的周長最小值就是△MBC的周長。