Question

（本小題滿分12分）

如圖甲，在△ABC中，∠ACB為銳角．點D為射線BC上一動點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側作正方形ADEF．

（1）如果AB=AC，∠BAC=90º．

解答下列問題：

①當點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖甲，線段CF、BD之間的位置關系為   　   ，數量關系為   　   ．

②當點D在線段BC的延長線上時，如圖乙，①中的結論是否仍然成立，為什么？（要求寫出證明過程）

（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，點D在線段BC上運動．且∠BCA=45°時，如圖丙請你判斷線段CF、BD之間的位置關系，并說明理由（要求寫出證明過程）．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

(1) ①CF ⊥BD，FC=BD．…………2分

②當點D在BC的延長線上時①的結論仍成立．…………………3分

證明：∵正方形ADEF，

∴AD=AF，∠DAF=90°，

∵∠DAF=∠BAC，

∴∠DAF+∠CAD=∠BAC+∠CAD，

即：∠DAB=∠FAC，

∵AB=AC，AD=AF，

∴△DAB≌△FAC，                      

∴CF=BD，∠ACF=∠B，                   …………………6分

∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ABC=45°，

∴∠ACF=∠ACB+∠ACF=∠ACB+∠ABC=90°，

即CF⊥BD．                             …………………8分

（2）當∠BCA=45°，CF⊥BD，             …………………9分

證明：過點A作AG⊥AC于A交BC于點G，

∴∠AGC+∠ACG=90°，

∵∠ACG=45°，

∴∠AGC=∠ACG=45°，

∴AC=AG，

與（1）②同理，CF⊥GD，即CF⊥BD．    …………………12分

 

 【解析】略